Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x . cos x
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em bài viết “Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x . cos x”. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các dạng phương trình lượng giác. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa thiết thực, chúng mình hy vọng bài viết sẽ là người bạn đồng hành đắc lực trên con đường chinh phục môn Toán của các em. Hãy cùng khám phá và thử sức với những bài tập thú vị nhé! Chúc các em học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong học tập.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x . cos x
Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x . cos x
1. Phương pháp
Bài toán 1
a. $(\sin x \pm \cos x)+b \cdot \sin x \cdot \cos x+c=0$
– Đặt: $t=\cos x \pm \sin x=\sqrt{2} \cdot \cos \left(x \mp \frac{\pi}{4}\right) ;|t| \leq \sqrt{2}$.
$$
\Rightarrow \mathrm{t}^2=1 \pm 2 \sin \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x} \Rightarrow \sin \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x}= \pm \frac{1}{2}\left(\mathrm{t}^2-1\right) \text {. }
$$
– Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo $t$. Giải phương trình này tìm $t$ thỏa $|t| \leq \sqrt{2}$. Suy ra $x$.
Lưu ý dấu
– $\cos x+\sin x=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
– $\cos x-\sin x=\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
Bài toán 2
a. $|\sin x \pm \cos x|+b \cdot \sin x \cdot \cos x+c=0$
– Đặt: $t=|\cos x \pm \sin x|=\sqrt{2} .\left|\cos \left(x \mp \frac{\pi}{4}\right)\right| ;$ Đ $: 0 \leq t \leq \sqrt{2}$.
$$
\Rightarrow \sin x \cdot \cos \mathrm{x}= \pm \frac{1}{2}\left(\mathrm{t}^2-1\right) \text {. }
$$
– Tương tự dạng trên. Khi tìm $\mathrm{x}$ cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1
Giải các phương trình
a) $\sin x+\cos x+2 \sin x \cos x-1=0$
b) $6(\sin x-\cos x)-\sin x \cos x-6=0(2)$
Giải
a) Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right),|t| \leq \sqrt{2}$
Phương trình (1) trở thành: $\mathrm{t}+2\left(\frac{\mathrm{t}^2-1}{2}\right)-1=0 \Leftrightarrow \mathrm{t}^2+\mathrm{t}-2=0$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
t=1 \\
t=-2<-\sqrt{2}
\end{array} \Rightarrow \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\right. \\
& \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi}{4} \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ x + \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\
{ x + \frac { \pi } { 4 } = \frac { 3 \pi } { 4 } + k 2 \pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=k 2 \pi \\
x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi
\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.
\end{aligned}
$$
Vậy nghiệm của phương trình (1) là $x=k 2 \pi ; x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$.
b) Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right),|t| \leq \sqrt{2}$
Phương trình (2) trở thành: $6 \mathrm{t}-\left(\frac{1-\mathrm{t}^2}{2}\right)-6=0 \Leftrightarrow \mathrm{t}^2+12 \mathrm{t}-13=0$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
\mathrm{t}=1 \\
\mathrm{t}=-13<-\sqrt{2}
\end{array} \Rightarrow \sqrt{2} \sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right)\right. \\
& \Leftrightarrow \sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi}{4} \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ \mathrm { x } – \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\
{ \mathrm { x } – \frac { \pi } { 4 } = \frac { 3 \pi } { 4 } + k 2 \pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\
x=\pi+k 2 \pi
\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.
\end{aligned}
$$
Vậy nghiệm của phương trình (2) là $\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} 2 \pi ; \mathrm{x}=\pi+\mathrm{k} 2 \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}$.
Ví dụ 2
Giải phương trình: $\sin 2 x-2 \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=5$.
Giải
Đặt $\sin x+\cos x=t(|t| \leq \sqrt{2}) \quad \Rightarrow \sin 2 x=t^2-1$. $\mathrm{PT} \Leftrightarrow \mathrm{t}^2-2 \sqrt{2} \mathrm{t}-6=0 \Leftrightarrow \mathrm{t}=-\sqrt{2}$ (thỏa mãn)
Giải phương trình
$$
\sin x+\cos x=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1 \Leftrightarrow x=\frac{5 \pi}{4}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z}) \text {. }
$$
Vậy nghiệm của phương trình là $\mathrm{x}=\frac{5 \pi}{4}+\mathrm{k} 2 \pi \quad(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 3
Giải phương trình $\sin ^3 x+\cos ^3 x=2(\sin x+\cos x)-1(*)$
Định hướng: Ta sử dụng hằng đẳng thức
$$
\sin ^3 x+\cos ^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x \cos x)
$$
Giải
Ta có:
$$
(*) \Leftrightarrow(\sin x+\cos x)(1-\sin x \cos x)=2(\sin x+\cos x)-1(1)
$$
Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right),|t| \leq \sqrt{2}$
Phương trình (1) trở thành: $\mathrm{t}\left(1-\frac{\mathrm{t}^2-1}{2}\right)=2 \mathrm{t}-1$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow t\left(3-t^2\right)=4 t-2 \Leftrightarrow t^3+t-2=0 \\
& \Leftrightarrow(t-1)\left(t^2+t+2\right)=0 \Leftrightarrow t=1\left(d o t^2+t+2>0, \forall t \in \mathbb{R}\right) \\
& \Rightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=k 2 \pi \\
x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi
\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.
\end{aligned}
$$
Vậy nghiệm của phương trình dã cho là $x=k 2 \pi ; x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$.
Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x . cos x
