Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng và bài tập áp dụng

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ giáo viên toán của hdgmvietnam.org xin hân hạnh mang đến cho các em một chủ đề hình học không gian vô cùng thú vị và bổ ích – Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, không chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán liên quan. Bài viết sẽ hướng dẫn chi tiết các bước tính góc, kèm theo những bài tập minh họa sinh động. Chúng mình hy vọng rằng, sau khi tìm hiểu xong, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các câu hỏi về góc giữa hai mặt phẳng. Hãy cùng khám phá ngay nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng và bài tập áp dụng

III. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG PHÁP
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1: Theo định nghĩa: $\left\{\begin{array}{l}a \perp(P) \\ b \perp(Q)\end{array} \Rightarrow \overline{((P),(Q))}=\widehat{(a, b)}\right.$

Cách 2: Khi xác định được $(P) \cap(Q)=\Delta$ thì ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm mặt phẳng $(R) \perp \Delta$.
+ Bước 2: Tìm $\left\{\begin{array}{l}p=(R) \cap(P) \\ q=(R) \cap(Q)\end{array}\right.$
Khi đó: $\overline{(P),(Q))}=\widehat{(p, q)}$.
Ví dụ: Tìm góc giữa mặt bên $(S C D)$ và mặt đáy $(A B C D)$ (hình vẽ bên)
Dựng $H E \perp C D \quad(E \in C D)$
Vì $\left\{\begin{array}{l}C D \perp H E \\ C D \perp S H\end{array} \Rightarrow C D \perp(S H D) \Rightarrow C D \perp S E\right.$.
Vì $\left\{\begin{array}{l}(S C D) \cap(A B C D) \\ C D \perp H E \subset(A B C D) \\ C D \perp S E \subset(S C D)\end{array}\right.$
$\Rightarrow \overline{((S C D),(A B C D))}=\overline{(S E, H E)}=\widehat{S E H}$

Cách 3:Theo định lí về hình chiếu
$$
S^{\prime}=S \cdot \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi=\frac{S^{\prime}}{S}
$$

2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác $A B C$ vuông cân tại $B$ có $A B=B C=4$. Gọi $H$ là trung điểm của $A B, S H \perp(A B C)$. Mặt phẳng $(S B C)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng $(S A C)$ và $(A B C)$ là:
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$
D. $\frac{1}{\sqrt{7}}$

Lời giải
Chọn D.
Kẻ $H P \perp A C$, lại có: $A C \perp S H \Rightarrow A C \perp(S P H)$
$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \overline{((S A C) ;(A B C))}=\widehat{S P H} \\
& \Rightarrow \cos \overline{((S A C) ;(A B C))}=\cos \widehat{S P H}=\frac{H P}{S P}
\end{aligned}
$$
Ta có
$$
\begin{aligned}
& \left.\begin{array}{l}
B C \perp A B \\
B C \perp S H
\end{array}\right\} \Rightarrow B C \perp(S B A) \Rightarrow \overline{(S B C),(A B C)}=\widehat{S B A}=60^{\circ} \\
& \Rightarrow S H=H B \cdot \tan \widehat{S B H}=2 \cdot \tan 60^{\circ}=2 \sqrt{3} \\
&
\end{aligned}
$$
Ta có $\widehat{H A P}=45^{\circ} ; \widehat{A P H}=90^{\circ} \Rightarrow \triangle A P H$ vuông cân $P$
$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow H P=\frac{A H}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \\
& \Rightarrow S P^2=S H^2+H P^2=12+2=14 \Rightarrow S P=\sqrt{14} \\
& \Rightarrow \cos ((S A C) ;(A B C))=\frac{H P}{S P}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{7}} .
\end{aligned}
$$

Bài toán 2: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, cạnh $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D), S A=A B=a, A D=3 a$. Gọi $M$ là trung điểm $B C$. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(S D M)$.
A. $\frac{5}{7}$
B. $\frac{6}{7}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{1}{7}$

Lời giải
Chọn B.
Kẻ $S H \perp M D, H \in M D$, mà $S A \perp M D \Rightarrow(S A H) \perp M D \Rightarrow A H \perp M D$
Do đó $(\overline{(S M D),(A B C D)})=(\widehat{S H, A H})=\widehat{S H A}=\varphi$
Ta lại có: $S_{A M D}=\frac{1}{2} S_{A B C D}=\frac{1}{2} \cdot 3 a \cdot a=\frac{3 a^2}{2}$
$$
D M=\sqrt{C D^2+C M^2}=\frac{a \sqrt{13}}{2}
$$
$\Rightarrow A H=\frac{2 S_{A M D}}{D M}=\frac{6 a \sqrt{13}}{13} \Rightarrow S H=\frac{7 a \sqrt{13}}{13} \Rightarrow \cos \varphi=\frac{A H}{S H}=\frac{6}{7}$.

Bài toán 3: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi, có $A B=2 a$ và góc $\widehat{B A D}=120^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy $(A B C D)$ trùng với giao điểm $I$ của hai đường chéo và $S I=\frac{a}{2}$. Tính góc tạo bởi mặt phẳng $(S A B)$ và mặt phẳng $(A B C D)$
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Lời giải
Chọn A.
Gọi $\varphi$ là góc giũa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(A B C D)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $A B$.
Ta có: $\left.\begin{array}{l}A B \perp H I \\ A B \perp S I\end{array}\right\} \Rightarrow A B \perp(S H I) \Rightarrow A B \perp S H$
Do đó: $\varphi=(\widehat{S H, I H})=\widehat{S H I}$
Ta có $\widehat{B A D}=120^{\circ} \Rightarrow \widehat{B A I}=60^{\circ}$
Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}\sin 60^{\circ}=\frac{B I}{A B} \\ \cos 60^{\circ}=\frac{A I}{A B}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}B I=a \sqrt{3} \\ A I=a\end{array}\right.\right.$
Xét tam giác vuông $A I B$ có: $\frac{1}{I H^2}=\frac{1}{I A^2}+\frac{1}{I B^2} \Leftrightarrow I H=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
Ta có: $\tan \widehat{S H I}=\frac{S I}{H I}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{S H I}=30^{\circ}$ hay $\varphi=30^{\circ}$.