Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ giáo viên nhiệt huyết của hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12 – Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Đây là một kiến thức nền tảng, không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian hiệu quả, mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng hình dung không gian tuyệt vời. Chúng tôi đã tổng hợp những kiến thức cốt lõi, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động, giúp các em dễ dàng nắm bắt và vận dụng vào bài tập. Hãy cùng khám phá bài viết hấp dẫn này nhé, các em yêu Toán thân mến!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. PHƯƠNG PHÁP
– Nếu $a$ và $b$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0^{\circ}$
– Nếu $a$ và $b$ cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai đường thẳng.
– Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là góc giũa hai đường thẳng $a^{\prime}$ và $b^{\prime}$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$.
Tức là: $\left\{\begin{array}{l}a / / a^{\prime} \\ b / / b^{\prime}\end{array} \Rightarrow \widehat{(a, b)}=\widehat{\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)}\right.$.
Chú ý:
+$0 \leq \widehat{(a, b)} \leq 90^{\circ}$.
+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.
Ví dụ: Để tính $\widehat{(A B, C D)}$. Ta kẻ $A E / / C D$.
Khi đó: $\overline{(A B, C D)}=\widehat{(A B, A E)}=\widehat{B A E}$.
+ Nếu $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $a$ và $b$ thì
$$
\widehat{(a, b)}=\left[\begin{array}{ll}
\overline{\left(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right)}=\alpha & \text { khi } \alpha \leq 90^{\circ} \\
180^{\circ}-\alpha & \text { khi } \alpha>90^{\circ}
\end{array}\right.
$$
Tức là: $\cos (\overrightarrow{a, b})=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{u_2}\right|}$.
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh $a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $C I$ với $I$ là trung điểm của $A D$.
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
D. $\frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn C.
Gọi $H$ là trung điểm của $B D \Rightarrow I H / / A B$
Nên $\overline{(A B ; C I)}=\widehat{(I H ; I C)}=\widehat{H I C}$. Mà $I H=\frac{a}{2}, C H=C I=\frac{a \sqrt{3}}{2}$ Áp dụng định lý cosin trong $\triangle H I C$, ta được:
$$
\begin{aligned}
& \cos \widehat{H I C}=\frac{H I^2+C I^2-H C^2}{2 H I \cdot C I}=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \\
& \Rightarrow \cos (\widehat{A B ; C I})=\frac{\sqrt{3}}{6} .
\end{aligned}
$$
Bài toán 2: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $D, S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $S D$ và $B C$ biết $A D=D C=a, A B=2 a, S A=\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$
A. $\frac{1}{\sqrt{42}}$
B. $\frac{2}{\sqrt{42}}$
C. $\frac{3}{\sqrt{42}}$
D. $\frac{4}{\sqrt{42}}$
Lời giải
Chọn C.
Gọi $M$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$. Ta có $A M=A D=D C=a$
Mà $A B$ song song với $C D$ nên $A M C D$ là hình vuông cạnh $A$. Do đó $D M$ song song vói $B C$. Suy ra
$$
\widehat{(S D ; B C)}=\widehat{(S D ; D M)}=\widehat{S D M}
$$
Lại có $S M=\sqrt{S A^2+A M^2}=\frac{a \sqrt{21}}{3}$
Và $D M=a \sqrt{2}, \mathrm{SD}=\sqrt{S A^2+A D^2}=\frac{a \sqrt{21}}{3}$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được
$$
\cos \widehat{S D M}=\frac{S D^2+D M^2-S M^2}{2 S D \cdot S M}=\frac{3}{\sqrt{42}} .
$$
Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có $S A, S B, S C$ đôi một vuông góc với nhau và $S A=S B=S C=a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $S M$ và $B C$ với $M$ là trung điểm của $A B$.
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
Lời giải
Chọn B.
Qua $M$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $B C$ cắt đường thẳng $A C$ tại $N$.
$\Rightarrow N$ là trung điểm của $A C$.
Do đó $\overline{(S M ; B C)}=\overline{(S M ; M N)}=\widehat{S M N}$
Ta có: $S A, S B, S C$ đôi một vuông góc với nhau và $S A=S B=S C=a$
Suy ra ba tam giác vuông: $\triangle S A B=\triangle S A C=\triangle S B C$ $\Rightarrow A B=A C=B C=a \sqrt{2} \Rightarrow S M=S N=M N=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $\triangle S M N$ là tam giác đều Vậy $\widehat{S M N}=60^{\circ} \Rightarrow(\widehat{S M, B C})=60^{\circ}$.
Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
