Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng

Chào các bạn học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, hdgmvietnam.org xin mang đến cho các bạn một chủ đề hình học không gian vô cùng thú vị và bổ ích: Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các bạn nắm vững cách tính toán và vận dụng linh hoạt vào các dạng bài tập đa dạng. Thông qua bài viết này, chúng mình sẽ cùng nhau khám phá những phương pháp tính góc hiệu quả, đồng thời luyện tập qua một số ví dụ minh họa sinh động. Hãy cùng hdgmvietnam.org trang bị cho mình kiến thức nền tảng vững chắc, sẵn sàng chinh phục mọi thử thách trong kỳ thi sắp tới nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng

II. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG PHÁP
– Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $90^{\circ}$.
– Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc tạo bởi đường thẳng $a$ và hình chiếu $a^{\prime}$ của nó trên $(P)$ gọi là góc giữa đường thẳng $a$ và $\mathrm{mp}(P)$. Tức là: Nếu $a$ không vuông với $(P)$ và $a^{\prime}$ là hình chiếu của $a$ trên $(P)$ thì $\overline{(a,(P))}=\widehat{\left(a, a^{\prime}\right)}=\varphi$.

Chú ý:
$$
\begin{aligned}
& +0^{\circ} \leq \overline{(a,(P))} \leq 90^{\circ} . \\
& + \text { Nếu }\left[\begin{array}{l}
a / /(P) \\
a \subset(P)
\end{array} \Rightarrow \overline{(a,(P))}=0^{\circ} .\right.
\end{aligned}
$$
+ Để tìm hình chiếu $a^{\prime}$ của $a$ trên $(P)$ ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm $M=a \cap(P)$.
Lấy một điểm $A$ tùy ý trên $a$ và xác định hình chiếu $H$ của $A$ trên $(P)$. Khi đó, $a^{\prime}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $M$.

2. MỘT SỐ LOẠI GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP
Bài toán: Cho khối chóp có đỉnh $S$ và đáy là $A B C D x x x \ldots, H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy. Tìm góc giữa các đường thường và mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
– Tìm góc giữa cạnh bên $S D$ và mặt đáy $(A B C D)$
$H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(A B C D)$
$\Rightarrow H D$ là hình chiếu vuông góc của $S D$ trên $(A B C D)$
Vậy $\overline{(S D,(A B C D))}=\overline{(S D, H D)}=\widehat{S D H}$

b. Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
Tìm góc giữa cạnh bên $S C$ và $(S H D)$ với $(S H D) \perp(A B C D)$ Dựng $C E \perp H D \quad(E \in H D)$
Vì $\left\{\begin{array}{l}C E \perp H D \\ C E \perp S H\end{array} \Rightarrow C E \perp(S H D)\right.$
$\Rightarrow E$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $(S H D)$.
Vậy $\overline{(S C,(S H D))}=\overline{(S C, S E)}=\widehat{C S E}$.

c. Góc giữa đường cao và mặt bên
– Tìm góc giữa đường cao $S H$ và mặt bên (SCD)
Dựng $H E \perp C D \quad(E \in C D)$
Vì $\left\{\begin{array}{l}C D \perp H E \\ C D \perp S H\end{array} \Rightarrow C D \perp(S H E) \Rightarrow(S C D) \perp(S H E)\right.$
Ta có: $(S C D) \cap(S H E)=S E$.
Dựng $H K \perp S E \Rightarrow H K \perp(S C D)$
$\Rightarrow S K$ là hình chiếu vuông góc của $S H$ trên $(S C D)$.
Vậy $\overline{(S H,(S C D))}=\overline{(S H, S K)}=\widehat{H S K}$

3. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Tam giác $S A B$ cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết $S C$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$, gọi $M$ là trung điểm của $B C$. Cosin góc tạo với $S M$ và mặt đáy là:
A. $\cos \varphi=\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{10}}$
C. $\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\cos \varphi=\frac{3}{\sqrt{10}}$

Lời giải:Chọn B.
Gọi $H$ là trung điểm của $A B$ khi đó $S H \perp A B$ Mặt khác $(S A B) \perp(A B C) \Rightarrow S H \perp(A B C)$
$\Rightarrow H M$ là hình chiếu của $S M$ trên $(A B C)$.
Suy ra $\widehat{S M,(A B C)}=\widehat{S M, H M}=\widehat{S M H}$
Khi đó $C H=\sqrt{A C^2-A H^2}=\frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow S H=C H \cdot \tan 60^{\circ}=\frac{3 a}{2}$
Do $M$ là trung điểm của $B C$ nên $H M=\frac{B C}{2}=\frac{a}{2}$
$$
\cos \widehat{S M H}=\frac{H M}{\sqrt{H M^2+S H^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}} .
$$

Bài toán 2: Cho lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác cân tại $A, B C=a$, $A A^{\prime}=a \sqrt{2}$ và $\cos \widehat{B A^{\prime} C}=\frac{5}{6}$. Tính góc giữa đường thẳng $A^{\prime} B$ và mặt phẳng $\left(A A^{\prime} C^{\prime} C\right)$.
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Lời giải:Chọn A.
Kẻ $B H \perp A C$ và theo giả thiết lăng trụ đứng ta có $B H \perp A A^{\prime}$ nên $B H \perp\left(A A^{\prime} C^{\prime} C\right)$.
Hình chiếu của $A^{\prime} B$ lên $\left(A A^{\prime} C^{\prime} C\right)$ chính là cạnh $A^{\prime} H$.
Suy ra góc giữa đường thẳng $A^{\prime} B$ và mặt phẳng $\left(A A^{\prime} C^{\prime} C\right)$ là góc $\widehat{B A^{\prime} H}$.
Đặt $A B=x$ thì $A^{\prime} B^2=\sqrt{A A^{\prime 2}+A B^2}=x^2+2 a^2=A^{\prime} C^2$.
Áp dụng định lí hàm số cosin trong $\triangle A^{\prime} B C$, ta có:
$$
\cos \widehat{B A^{\prime} C}=\frac{A^{\prime} B^2+A^{\prime} C^2-B C^2}{2 A^{\prime} B \cdot A^{\prime} C} \Leftrightarrow \frac{2 x^2+4 a^2-a^2}{2\left(x^2+2 a^2\right)}=\frac{5}{6} \Leftrightarrow x=a
$$
Trong tam giác vuông $A^{\prime} B H$ có:
$$
\sin \widehat{B A^{\prime} H}=\frac{B H}{A^{\prime} B}=\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{3}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B A^{\prime} H}=30^{\circ} \text {. }
$$

Bài toán 3: Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$, góc $A=60^{\circ}$. Chân đường vuông góc hạ từ $B^{\prime}$ xuống mặt phẳng $(A B C D)$ trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy $A B C D$. Cho $B B^{\prime}=a$. Tính góc giữa cạnh bên và đáy
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Lời giải:
Chọn C.
Gọi $O=A C \cap B D$. Theo giả thiết ta có $B^{\prime} O \perp(A B C D)$
$$
\left\{\begin{array}{l}
B^{\prime} B \cap(A B C D)=\{B\} \\
B^{\prime} O \perp(A B C D), O \in(A B C D)
\end{array}\right.
$$
$\Rightarrow$ Hình chiếu $B^{\prime} B$ trên $(A B C D)$ là $O B$
$$
\Rightarrow\left(B^{\prime} B,(A B C D)\right)=\left(B^{\prime} B, B O\right)=\widehat{B^{\prime} B O}
$$
Tam giác $A B D$ có $A B=A D=a, \widehat{B A D}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \triangle A B D$ là tam giác đều $\Rightarrow B D=a \Rightarrow O B=\frac{a}{2}$
Trong tam giác vuông $B^{\prime} O B$ :
$$
\cos \widehat{B^{\prime} O B}=\frac{O B}{B B^{\prime}}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B^{\prime} O B}=60^{\circ} .
$$