Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ sao cho mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (P) cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d cho trước một góc lớn nhất)
Xin chào các bạn học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến các bạn một bài viết hữu ích về chủ đề “Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆”. Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn cách xác định phương trình mặt phẳng (Q) sao cho nó tạo với mặt phẳng (P) cho trước một góc nhỏ nhất, hoặc với đường thẳng d một góc lớn nhất.
Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các bạn rèn luyện tư duy không gian và kỹ năng giải toán hình học. Chúng tôi tin rằng bài viết này sẽ là một công cụ hữu ích, giúp các bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài tập cũng như trong kỳ thi sắp tới. Hãy cùng khám phá nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ sao cho mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (P) cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d cho trước một góc lớn nhất)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $\mathrm{A}(1 ;-1 ; 2)$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y-z+3=0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$; song song với $(P)$ đồng thời tạo với đường $\Delta: \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$ một góc nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa $A$ và song song với $(P) \Rightarrow \overline{n_{(\alpha)}}=(2 ;-1 ;-1)$.
Khi đó $d$ nằm trong $(\alpha)$ sao cho góc giữa $d$ và $\Delta$ nhỏ nhất.
Ta có: $(\widehat{d ; \Delta})_{\min } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ;\left[u_{\Delta} ; n_{(\alpha)}\right]\right]=-2(1 ;-5 ; 7)$
Phương trình dường thẳng $d$ là: $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-2}{7}$.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $\mathrm{A}(1 ;-1 ; 2)$ và hai đường $\mathrm{d}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1} ; d^{\prime}: \frac{x-3}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{2}$. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ đồng thời cắt đường $d$ sao cho góc giữa $\Delta$ và $d^{\prime}$ nhỏ nhất?
Lời giải:
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $A$ và $d$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\mathrm{A}(1 ; 2 ;-2)$ và có $\mathrm{VTCP}$ là $\overrightarrow{u_d}=(2 ; 1 ;-1)$.
Khi đó $\overrightarrow{n_{(P)}}=\left[\overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{u_d}\right]=-(1 ; 0 ; 2)$. Đường thẳng $\Delta \subset(P)$.
Ta có: $\left(\widehat{\Delta ; d^{\prime}}\right)_{\text {min }} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ;\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}\right]\right]=(8 ;-10 ;-4)=2(4 ;-5 ;-2)$.
Phương trình đường thẳng là: $\mathrm{d}: \frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}$.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua $\mathrm{A}(1 ; 0 ;-2)$ và cắt $\Delta: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-2}$ sao cho góc giữa $d$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y+2 z-1=0$ lớn nhất?.
Lời giải:
Đường thẳng $\mathrm{d}$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$ chứa $A$ và $\Delta$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1 ;-1 ; 2)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(3 ; 2 ;-2), \overrightarrow{A M}(0 ;-1 ; 4)$
Ta có: $\overrightarrow{n_{(\varrho)}}=\left[\overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{u_A}\right]=-(-6 ; 12 ; 3) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\varrho)}}=(-2 ; 4 ; 1)$.
Để $(\widehat{\mathrm{d} ;(P)})_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(\varrho)}} ;\left[\overline{n_{(Q)}} ; \overrightarrow{n_{(P)}}\right]\right]=(-30 ;-3 ;-48)=-3(10 ; 1 ; 16)$.
Khi đó phương trình đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{16}$.
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ sao cho mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (P) cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d cho trước một góc lớn nhất)