Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài toán thú vị và hữu ích trong chương trình Toán 12: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d. Đây là một dạng toán không chỉ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán trong không gian mà còn mở ra những ứng dụng thực tế thú vị. Hãy cùng chúng mình khám phá cách giải quyết bài toán này một cách đơn giản và hiệu quả nhé. Chúng mình tin rằng, với sự chăm chỉ và đam mê học tập, các em sẽ chinh phục được bài toán này một cách xuất sắc. Cùng bắt đầu nào!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d

Phương pháp giải:
Đường thẳng $\mathrm{d}$ xác định đi qua điểm $\mathrm{A}$ và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}$.
Kẻ $M H \perp(P) ; M K \perp d \Rightarrow M H=d(M ;(P))$ và điểm $\mathrm{K}$ cố định.
Ta có $d(M ;(P))=M H \leq M K$
Suy ra $d_{\max }=M K$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}d \subset(P) \\ (P) \perp(M ; d)\end{array}\right.$
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa $\mathrm{M}$ và $\mathrm{d}$ ta có:
Khi đó $(\mathrm{P})$ đi qua $\mathrm{A}$ và có véc tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}}\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]$

Ví dụ 1

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho các điểm $M(2 ; 5 ; 3)$ và đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$.
Lập $(P)$ chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Đường thẳng $\mathrm{d}$ xác định đi qua điểm $\mathrm{A}$ và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}(2 ; 1 ; 2)$
Kẻ $M H \perp(P) ; M K \perp d \Rightarrow M H=d(M ;(P))$ và điểm $\mathrm{K}$ cố định.
Ta có $d(M ;(P))=M H \leq M K$
Suy ra $d_{\max }=M K$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}d \subset(P) \\ (P) \perp(M ; d) \equiv(\alpha)\end{array}\right.$
$$
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}} \perp \overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} \\
\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}} \perp \overrightarrow{n_\alpha}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right] \end{array} \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}}\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]\right.
$$
Ta có: $\overrightarrow{M A}(1 ;-5 ;-1) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ;\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]=-9(1 ;-4 ; 1)$
Do đó mặt phẳng $(P)$ cần tìm đi qua $A(1 ; 0 ; 2)$ và có $\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}(1 ;-4 ; 1) \Rightarrow(P): x-4 y+z-3=0$.

Ví dụ 2

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho các điểm $M(5 ; 1 ; 6)$ và đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{5}$. Lập $(P)$ chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ xác định đi qua điểm $A(1 ;-1 ; 2)$ và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}(2 ; 1 ; 5)$.
Kẻ $M H \perp(P) ; M K \perp d \Rightarrow M H=d(M ;(P))$ và điểm $\mathrm{K}$ cố định.
Ta có $d(M ;(P))=M H \leq M K$
Suy ra $d_{\max }=M K$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}d \subset(P) \\ (P) \perp(M ; d) \equiv(\alpha)\end{array}\right.$
Ta có: $\overrightarrow{M A}(-4 ;-2 ;-4)=-2(2 ; 1 ; 2) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\mathbb{P})}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ;\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]=30(2 ; 1 ;-1)$.
Do đó mặt phẳng $(P)$ cần tìm đi qua $A(1 ; 2 ;-1)$ và có $\overrightarrow{n_{(\mathrm{PP}}}(2 ; 1 ;-1) \Rightarrow(P): 2 x+y-z+1=0$.

Ví dụ 3

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho các điểm $M(1 ; 2 ;-3)$ và đường thẳng $d: \frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{2}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $M$ một khoảng lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ bằng:
A. $d=\sqrt{3}$.
B. $d=3$.
C. $d=\frac{3}{\sqrt{5}}$.
D. $d=\sqrt{5}$.

Lời giải:

Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A(-1 ; 2 ; 1)$
Ta có: $d(M ;(P))=M H \leq M K$ Khi đó
Suy ra $d_{\max }=M K$.
Khi đó $\left\{\begin{array}{l}d \subset(P) \\ (P) \perp(M ; d) \equiv(\alpha)\end{array}\right.$
$$
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}} \perp \overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} \\
\overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}} \perp \overrightarrow{n_\alpha}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right] \end{array} \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ;\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]\right.
$$
Ta có: $\overrightarrow{u_d}=(4 ;-3 ; 2) ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}=(-2 ; 0 ; 4)$
$$
\Rightarrow\left[\overrightarrow{u_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]=-2(6 ; 10 ; 3) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\mathrm{P})}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ;\left[\overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{d}}} ; \overrightarrow{\mathrm{MA}}\right]\right]=(-29 ; 0 ; 58)=-29(1 ; 0 ;-2)
$$
Khi đó $(P): \mathrm{x}-2 \mathrm{z}+3=0 \Rightarrow \mathrm{d}(O ;(P))=\frac{3}{\sqrt{5}}$. Chọn C.