Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một chủ đề toán học vô cùng thú vị và hữu ích: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 10, không chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Thông qua bài viết này, chúng tôi hy vọng sẽ cung cấp cho các em những kiến thức nền tảng, minh họa bằng các ví dụ sinh động, và hướng dẫn các em áp dụng vào bài tập một cách hiệu quả. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới toán học đầy màu sắc và niềm vui này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm $M\left(x_0 ; y_0\right)$ và đường thẳng $\Delta: A x+B y+C=0$. Khi đó, khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ được tính theo công thức
$$
\mathrm{d}(M, \Delta)=\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$
BÀI TẬP DẠNG 4
Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm $M(1 ; 2)$ đến đường thẳng $(D): 4 x+3 y-2=0$.
Lời giải.
Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có
$$
\mathrm{d}(M, D)=\frac{|4 \cdot 1+3 \cdot 2-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{8}{5} .
$$
Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng $\Delta: 2 x+y-1=0$ và có khoảng cách đến $(D): 4 x+3 y-10=0$ bằng 2 .
Lời giải.
Giả sử có điểm $M \in \Delta$, khi đó $M(m ; 1-2 m)$.
Theo đề $\mathrm{d}(M, \Delta)=2 \Leftrightarrow \frac{|4 m+3(1-2 m)-10|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2 \Leftrightarrow|-2 m-7|=10$
$$
\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ 2 m + 7 = 1 0 } \\
{ 2 m + 7 = – 1 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
m=\frac{3}{2} \\
m=-\frac{17}{2} .
\end{array}\right.\right.
$$
Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện là $M_1\left(\frac{3}{2} ;-2\right)$ và $M_2\left(-\frac{17}{2} ; 18\right)$.
Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm $A(1,-3)$ và có khoảng cách đến điểm $M_0(2,4)$ bằng 1 .
Lời giải.
Giả sử đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1 ;-3)$ có hệ số góc $k$. Khi đó phương trình $\Delta$ có dạng:
$$
y+3=k(x-1) \Leftrightarrow k x-y-k-3=0 .
$$
Theo đề ta có $\mathrm{d}\left(M_0, \Delta\right)=\frac{|2 k-4-k-3|}{\sqrt{k^2+1}}=1 \Leftrightarrow|k-7|=\sqrt{k^2+1} \Leftrightarrow(k-7)^2=k^2+1$
$$
\Leftrightarrow k^2-14 k+49=k^2+1 \Leftrightarrow 14 k=48 \Leftrightarrow k=\frac{24}{7} \text {. }
$$
Vậy phương trình $\Delta: 24 x-7 y-45=0$.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
