Khảo sát hàm số và dạng đồ thị của các hàm số: bậc ba, trùng phương, nhất biến
Xin chào các bạn học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến các bạn một bài viết hữu ích về chủ đề “Khảo sát hàm số và dạng đồ thị của các hàm số: bậc ba, trùng phương, nhất biến”. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các bạn nắm vững cách phân tích và vẽ đồ thị các loại hàm số phức tạp. Bài viết sẽ cung cấp những công cụ và phương pháp cần thiết để các bạn tự tin đối mặt với các bài toán liên quan đến hàm số trong kỳ thi sắp tới. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới hàm số thú vị này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Khảo sát hàm số và dạng đồ thị của các hàm số: bậc ba, trùng phương, nhất biến
A. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ
I. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$;
Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình $f^{\prime}(x)=0$;
Bước 4. Tính giới hạn $\lim _{x \rightarrow+\infty} y ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y$ và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục $\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}$, các điểm đồ xúng, …);
Bước 8 . Vẽ đồ thị.
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3 x^2+2$
Lời giải:
1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
$y^{\prime}=3 x^2-6 x$. Xét $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=2\end{array}\right.$
Trên các khoảng $(-\infty ; 0)$ và $(2 ;+\infty)$, $y^{\prime}>0$ nên hàm số đồng biến
Trên khoảng $(0 ; 2), y^{\prime}<0$ nên hàm số nghịch biến
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại $x=0 ; y_{c d}=y(0)=2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2 ; y_{c t}=y(2)=-2$
+ Các giới hạn tại vô cực
$$
\mathrm{s} \lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=+\infty ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=-\infty .
$$
Khảo sát hàm số và dạng đồ thị của các hàm số: bậc ba, trùng phương, nhất biến
