Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Chào các em học sinh lớp 10 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một chủ đề toán học hấp dẫn và bổ ích – Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10, giúp các em phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Chúng tôi sẽ cùng nhau khám phá cách giải hệ phương trình này một cách dễ hiểu và thú vị. Hãy cùng đồng hành với hdgmvietnam.org trên hành trình chinh phục đỉnh cao tri thức toán học nhé! Chúng tôi tin rằng với sự nhiệt huyết và nỗ lực, các em sẽ nhanh chóng làm chủ kiến thức này. Cùng bắt đầu thôi nào!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Dạng 2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
– Bước 1: Dùng phương pháp cộng đại số đưa hệ đã cho về dạng tam giác.
– Bước 2: Giải hệ và kết luận

BÀI TẬP DẠNG 2
Chú ý
– Cách giải hệ dạng tam giác: từ phương trình cuối ta tìm $z$, thay vào phương trình thứ hai ta tìm được $y$ và cuối cùng thay $y, z$ vào phương trình thứ nhất ta tìm được $x$.
– Nếu trong quá trình biến đổi ta thấy xuất hiện phương trình chỉ có một ẩn thì ta giải tìm ẩn đó rồi thay vào hai phương trình còn lại để giải hệ hai phương trình hai ẩn.
– Ta có thể thay đổi thứ tự các phương trình trong hệ để việc biến đổi dễ hơn.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned} x+2 y+z & =10 \\ y-z & =5 \\ 2 z & =4 .\end{aligned}\right.$
Lời giải.
Từ phương trình (3) suy ra $z=2$.
Thay $z=2$ vào phương trình (2) ta được $y-2=5 \Leftrightarrow y=7$.
Thay $y=7, z=2$ vào phương trình (3) ta được $x+2.7+2=10 \Leftrightarrow x=-6$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(-6 ; 7 ; 2)$.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned} x-y+z & =-3 \\ 3 x+2 y+3 z & =6 \\ 2 x-y-4 z & =3 .\end{aligned}\right.$
Lời giải.
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3 rồi cộng vào phương trình (2) theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình (1) với -2 rồi cộng vào phương trình (3) theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình
$
\left\{\begin{aligned}
x-y+z & =-3 \\
-5 y & =-15 \\
y-6 z & =9 .
\end{aligned}\right.
$
Giải phương trình (2) ta được $y=3$.
Thay $y=3$ vào phương trình (3) ta được $3-6 z=9 \Leftrightarrow z=-1$
Thay $y=3, z=-1$ vào phương trình (1) ta được $x-3+(-1)=-3 \Leftrightarrow x=1$.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là $(1 ; 3 ;-1)$.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=4 \\ 2 x+y-z=-1 \\ x+y+z=5\end{array}\right.$
Lời giải
Nhân hai vế của phương trình (1) với -2 rồi cộng vào phương trình (2) theo từng vế tương ứng, Nhân hai vế của phương trình (1) với -1 rồi cộng vào phương trình (2) theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình
$
\left\{\begin{aligned}
x-y+2 z & =4 \\
3 y-5 z & =-9 \\
2 y-z & =1
\end{aligned}\right.
$
Tiếp tục nhân hai vế của phương trình (2) với $-\frac{2}{3}$ rồi cộng vào phương trình (3) theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình
$
\left\{\begin{aligned}
x-y+2 z & =4 \\
3 y-5 z & =-9 \\
\frac{7}{3} z & =7
\end{aligned}\right.
$
Từ phương trình (3) suy ra $z=3$.
Thay $z=3$ vào phương trình (2) ta được $3 y-5.3=-9 \Leftrightarrow y=2$.
Thay $y=2, z=3$ vào phương trình (3) ta được $x-2+2.3=4 \Leftrightarrow x=0$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(0 ; 2 ; 3)$.