Giới hạn của hàm số dạng vô định 0/0
Chào các bạn học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đến các bạn một chủ đề toán học thú vị và quan trọng: Giới hạn của hàm số dạng vô định 0/0. Đây là một khái niệm then chốt trong chương trình Toán 11, giúp các bạn hiểu sâu hơn về bản chất của hàm số và mở ra cánh cửa khám phá thế giới giải tích. Chúng tôi sẽ cùng các bạn khám phá những phương pháp giải quyết dạng bài tập này một cách dễ hiểu và thực tế nhất. Hãy cùng nhau bước vào cuộc phiêu lưu toán học đầy hấp dẫn này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Giới hạn của hàm số dạng vô định 0/0
Dạng 4. Dạng vô định $\frac{0}{0}$
1. Phương pháp
$\checkmark$ Nhận dạng vô định $\frac{0}{0}: \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_0} \frac{\mathrm{u}(\mathrm{x})}{\mathrm{v}(\mathrm{x})}$ khi $\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_0} \mathrm{u}(\mathrm{x})=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_0} \mathrm{u}(\mathrm{x})=0$.
$\checkmark$ Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
$\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_{\mathrm{o}}} \frac{\mathrm{u}(\mathrm{x})}{\mathrm{v}(\mathrm{x})}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_0} \frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_0\right) \mathrm{A}(\mathrm{x})}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_0\right) \mathrm{B}(\mathrm{x})}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_0} \frac{\mathrm{A}(\mathrm{x})}{\mathrm{B}(\mathrm{x})}$ và tính $\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}_0} \frac{\mathrm{A}(\mathrm{x})}{\mathrm{B}(\mathrm{x})}$.
Nếu phương trình $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ có nghiệm là $\mathrm{x}_0$ thì $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_0\right) \cdot \mathrm{g}(\mathrm{x})$
Đặc biệt:
– Nếu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$, mà $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thì $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ được phân tích thànhf $\mathrm{x} \mathrm{x})=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_1\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_2\right)$
– Phương trình bậc 3 : $\mathrm{ax}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}=0(\mathrm{a} \neq 0)$
– $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$ thì pt có một nghiệm là $\mathrm{x}_1=1$, để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner
– $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{d}=0$ thì pt có một nghiệm là $\mathrm{x}_1=-1$, để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner
– Nếu $\mathrm{u}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{v}(\mathrm{x})$ có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước.
\begin{array}{ll}
\mathrm{A}-\mathrm{B} & \text { lượng liên hiệp là: } \mathrm{A}+\mathrm{B} . \\
\sqrt{\mathrm{A}}-\mathrm{B} & \text { lượng liên hiệp là: } \sqrt{\mathrm{A}}+\mathrm{B} . \\
\sqrt{\mathrm{A}}-\sqrt{\mathrm{B}} & \text { lượng liên hiệp là: } \sqrt{\mathrm{A}}+\sqrt{\mathrm{B}} . \\
\sqrt[3]{\mathrm{A}}-\mathrm{B} & \text { lượng liên hiệp là: }\left(\sqrt[3]{\mathrm{A}^2}+\mathrm{B} \sqrt[3]{\mathrm{A}}+\mathrm{B}^2\right) \text {. } \\
\sqrt[3]{\mathrm{A}}+\mathrm{B} & \text { lượng liên hiệp là: }\left(\sqrt[3]{\mathrm{A}^2}-\mathrm{B} \sqrt[3]{\mathrm{A}}+\mathrm{B}^2\right) .
\end{array}
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3 x+2}{x-1}$
Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tụ luận
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3 x+2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow}(x-2)=-1 \text {. }
$$
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Nhập vào màn hình $\frac{\mathrm{X}^2-3 \mathrm{X}+2}{\mathrm{X}-1}$ ấn CALC $1+10^{-10} \boxminus$ ta được kết quả
Giới hạn của hàm số dạng vô định 0/0
