Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Xin chào các em học sinh lớp 10 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho các em một bài viết vô cùng hữu ích và thú vị: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, và chúng tôi mong muốn giúp các em nắm vững kiến thức này một cách dễ dàng và hiệu quả. Với lối viết sinh động, ngôn từ dễ hiểu, và các ví dụ minh họa rõ ràng, bài viết sẽ giúp các em không chỉ hiểu rõ các khái niệm mà còn biết cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới toán học đầy màu sắc và thú vị này nhé!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Dạng 1. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Xét bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng: $a x+b>0$
– Nếu $a>0$ thì bất phương trình $(*)$ có các nghiệm $x>-\frac{b}{a}$ hay bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-\frac{b}{a} ;+\infty\right)$.
– Nếu $a<0$ thì bất phương trình $\left({ }^*\right)$ có các nghiệm $x<-\frac{b}{a}$ hay bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-\infty ;-\frac{b}{a}\right)$.
Các bất phương trình dạng $a x+b<0, a x+b \geq 0, a x+b \leq 0$ có cách giải tương tự. Các bất phương trình khác ta biến đổi bất phương trình về dạng $a x+b>0$ (hoặc về dạng $a x+b<0, a x+b \geq 0, a x+b \leq 0)$.
BÀI TẬP DẠNG 1
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a) $3 x-1 \geq 0$.
b) $2 x+3<4 x-5$.
c) $(x-3)(2 x+5) \leq 2 x^2+4 x-7$.
Lời giải.
a) $3 x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[\frac{1}{3} ;+\infty\right)$.
b) $2 x+3<4 x-5 \Leftrightarrow 2 x-4 x<-5-3 \Leftrightarrow-2 x<-8 \Leftrightarrow x>4$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=(4 ;+\infty)$.
c) $(x-3)(2 x+5) \leq 2 x^2+4 x-7 \Leftrightarrow 2 x^2-x-15 \leq 2 x^2+4 x-7 \Leftrightarrow-5 x \leq 8 \Leftrightarrow x \geq-\frac{8}{5}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[-\frac{8}{5} ;+\infty\right)$.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{3-2 x}{x^2+1} \geq 0$.
b) $\frac{x^2+3 x-2}{x^2+2 x+3}<\frac{x^2-x-2}{x^2+2 x+3}$.
Lời giải.
a) $\frac{3-2 x}{x^2+1} \geq 0$ Ta có $x^2+1>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình đã cho tương đương:
$3-2 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=\left(-\infty ; \frac{3}{2}\right]$.
b) $\frac{x^2+3 x-2}{x^2+2 x+3}<\frac{x^2-x-2}{x^2+2 x+3}$.
Ta có: $x^2+2 x+3=(x+1)^2+2>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình đã cho tương đương: $x^2+3 x-2<x^2-x-2 \Leftrightarrow 4 x<0 \Leftrightarrow x<0$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=(-\infty ; 0)$.
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
a) $\sqrt{x-1}(3 x-8) \leq 0$.
b) $\frac{4 x+3}{\sqrt{2-x}} \geq 0$.
c) $\frac{6-5 x}{\sqrt{2 x+1}}>\sqrt{2 x+1}$.
d) $\frac{x-1}{2-x}<1$.
Lời giải.
a) $\sqrt{x-1}(3 x-8) \leq 0$.
Điều kiện: $x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$.
– Ta thấy $x=1$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
– Với $x>1$, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: $3 x-8 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{8}{3}$.
Kết hợp điều kiện $x>1$ ta được: $1<x \leq \frac{8}{3}$.
– Vậy bất phương trình đã cho có các nghiệm $1 \leq x \leq \frac{8}{3}$.
b) $\frac{4 x+3}{\sqrt{2-x}} \geq 0$. Điều kiện: $2-x>0 \Leftrightarrow x<2$.
Với $x<2$, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
$
4 x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq-\frac{3}{4} \text {. }
$
Kết hợp điều kiện $x<2$ ta được: $-\frac{3}{4} \leq x<2$.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left[-\frac{3}{4} ; 2\right)$.
c) $\frac{6-5 x}{\sqrt{2 x+1}}>\sqrt{2 x+1}$
Điều kiện: $2 x+1>0 \Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}$.
Với $x>-\frac{1}{2}$, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
$$
6-5 x>2 x+1 \Leftrightarrow-7 x>-5 \Leftrightarrow x<\frac{5}{7} \text {. } $$ Kết hợp điều kiện $x>-\frac{1}{2}$ ta được: $-\frac{1}{2}<x<\frac{5}{7}$.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left(-\frac{1}{2} ; \frac{5}{7}\right)$.
d) $\frac{x-1}{2-x}<1$.
Điều kiện: $2-x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$.
– Với $x<2$, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: $x-1<2-x \Leftrightarrow 2 x<3 \Leftrightarrow x<\frac{3}{2}$.
Kết hợp điều kiện $x<2$ ta được $x<\frac{3}{2}$. – Với $x>2$, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: $x-1>2-x \Leftrightarrow 2 x>3 \Leftrightarrow x>\frac{3}{2}$.
Kết hợp điều kiện $x>2$ ta được $x>2$.
– Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left(-\infty ; \frac{3}{2}\right) \cup(2 ;+\infty)$.
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
