Đồ thị của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Xin chào các em học sinh lớp 12 thân mến!
Hôm nay, chúng mình sẽ cùng nhau khám phá thế giới kỳ diệu của Toán học qua bài viết “Đồ thị của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit”. Đây là những kiến thức quan trọng và hữu ích trong chương trình Toán 12, giúp các em hiểu sâu hơn về tính chất và ứng dụng của các loại hàm số này.
Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa trực quan, bài viết hứa hẹn sẽ mang đến cho các em những phút giây thư giãn, học tập hiệu quả và thú vị. Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org đắm mình vào hành trình chinh phục Toán học nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Đồ thị của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

ĐỒ THỊ CỦA HÀM LŨY THỪA
Đồ thị của hàm số lũy thừa $y=x^\alpha$ luôn đi qua điểm $I(1 ; 1)$.
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn:
$$
y=x^3, y=x^{-2}, y=x^\pi \text {. }
$$

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ

Nhận trục hành làm đường tiệm cận ngang

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LOGARIT
Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

IV. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Cho hàm số $y=\ln x$ có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Lời giải
Đồ thị Hình 2 được suy ra từ đồ thị Hình 1 bằng cách:
– Giữ nguyên phần $y \geq 0$.
– Lấy đối xứng qua $O x$ phần $y<0$. Chọn B.

Bài toán 2: Cho $a, b, c$ là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số $y=a^x, y=b^x, y=c^x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a>b>c$.
B. $a<b<c$.
C. $c>a>b$.
D. $a>c>b$.

Lời giảiTa thấy hàm $y=c^x$ có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi lên nên là hàm đồng biến
$\longrightarrow c>1$. Còn hàm số $y=a^x$ và $y=b^x$ là những hàm nghịch biến $\longrightarrow a, b<1$. Từ đó loại được các đáp án $\mathrm{A}, \mathrm{D}$.
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị $x_0<0$ thì đồ thị hàm số $y=b^x$ nằm trên đồ thị hàm số $y=a^x$ hay $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ b^x>a^x\end{array} b<a\right.$. Ví dụ $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ b^{-1}>a^{-1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ \frac{1}{b}>\frac{1}{a}\end{array} \rightarrow b<a\right.\right.$. Vậy $c>a>b$. Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị các hàm số $y=a^x, y=b^x, y=c^x$ lần lượt tại các điểm có tung độ $y=a, y=b, y=c$. Dựa vào đồ thị ta thấy ngay $c>a>b$.

Bài toán 3: Cho $a, b, c$ là các số thực dương khác 1 . Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số $y=\log _a x, y=\log _b x, y=\log _c x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a<c<b$.
B. $a<b<c$.
C. $b<a<c$.
D. $b>a>c$.

Lời giảiTa thấy hàm $y=\log _a x$ có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi xuống nên là hàm nghịch biến $\longrightarrow 0<a<1$. Còn hàm số $y=\log _b x$ và $y=\log _c x$ là những hàm đồng biến $\longrightarrow b, c>1$. Từ đó loại được các đáp án $\mathrm{C}, \mathrm{D}$.
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị $x_0>1$ thì đồ thị hàm số $y=\log _b x$ nằm trên đồ thị
Vậy $a<b<c$. Chọn B.
Cách trắc nghiệm. Kẻ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị các hàm số $y=\log _a x, y=\log _b x, y=\log _c x$ lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=a, x=b, x=c$. Dựa vào đồ thị ta thấy ngay $a<b<c$.