Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức và ứng dụng
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng khám phá một định lý toán học vô cùng thú vị và hữu ích trong chương trình Toán 12 – Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức. Đây là một công cụ tuyệt vời giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy cùng đội ngũ hdgmvietnam.org đi sâu vào tìm hiểu định lý này, khám phá những ứng dụng thực tế của nó, và nâng cao kỹ năng giải toán của mình nhé. Chúng mình tin rằng, với sự nhiệt huyết và đam mê học tập, các em sẽ nhanh chóng làm chủ kiến thức này và tự tin chinh phục mọi thử thách trong môn Toán. Bắt đầu thôi nào!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức và ứng dụng
Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng
1. Phương pháp giải
Định lí Vi-ét: Cho phương trình:
$$
a z^2+b z+c=0 ; a, b, c \in \mathbb{R} ; a \neq 0
$$
có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ thì $\left\{\begin{array}{l}z_1+z_2=-\frac{b}{a} \\ z_1 \cdot z_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$
Ví dụ: Phương trình $z^2-4 z+24=0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ nên
$$
z_1+z_2=4 ; z_1 \cdot z_2=24
$$
Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: $z_1+z_2=\frac{b}{a}$
2. Bài tập
Bài tập 1: Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-2 z+5=0$. Giá trị của biểu thức $z_1^2+z_2^2$ bằng
A. 14
B. -9
C. -6
D. 7
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi $z_1, z_2$ là nghiệm của phương trình $z^2-2 z+5=0$
Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}z_1+z_2=2 \\ z_1 \cdot z_2=5\end{array}\right.$
Suy ra $z_1^2+z_2^2=\left(z_1+z_2\right)^2-2 z_1 z_2=2^2-2.5=-6$
Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là $1+2 i$ ?
A. $z^2-2 z+3=0$
B. $z^2+2 z+5=0$
C. $z^2-2 z+5=0$
D. $z^2+2 z+3=0$
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm $1+2 i$ thì nghiệm còn lại là $1-2 i$ Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là $2 ; 5$
Vậy số phức $1+2 i$ là nghiệm của phương trình $z^2-2 z+5=0$
Bài tập 3: Kí hiệu $z_1, z_2$ là nghiệm phức của phương trình $2 z^2+4 z+3=0$. Tính giá trị biểu thức $P=\left|z_1 z_2+i\left(z_1+z_2\right)\right|$
A. $P=1$
B. $P=\frac{7}{2}$
C. $P=\sqrt{3}$
D. $P=\frac{5}{2}$
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình $2 z^2+4 z+3=0$
Theo dịnh lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}z_1+z_2=-2 \\ z_1 \cdot z_2=\frac{3}{2}\end{array}\right.$
Ta có $P=\left|z_1 z_2+i\left(z_1+z_2\right)\right|=\left|\frac{3}{2}+i(-2)\right|=\left|\frac{3}{2}-2 i\right|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+(-2)^2}=\frac{5}{2}$
Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức và ứng dụng