Đề Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia 2019 sở GD và ĐT Đồng Tháp
Trong nỗ lực thúc đẩy phát triển tài năng toán học của học sinh, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Tháp đã tổ chức một kỳ thi chọn lọc đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp Quốc gia vào ngày 12/07/2018. Đề thi này, được hdgmvietnam.org giới thiệu đến cộng đồng học thuật, bao gồm 5 bài toán tự luận về môn Toán, được thiết kế để thách thức và đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của các thí sinh.
Với thời gian làm bài 180 phút và thang điểm tối đa 20 điểm, đề thi này đòi hỏi các học sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Các bài toán được trình bày trong một tài liệu duy nhất, gồm 1 trang, nhằm tạo ra một môi trường thi cử công bằng và khách quan.
Để hỗ trợ quá trình học tập và rèn luyện, hdgmvietnam.org đã cung cấp đáp án và lời giải chi tiết cho đề thi này. Điều này sẽ giúp các học sinh có cơ hội tự đánh giá và hiểu sâu hơn về cách giải quyết các vấn đề toán học phức tạp.
Trích dẫn Đề Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia 2019 sở GD và ĐT Đồng Tháp
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn:
$$
x-\frac{1}{y^2}=y-\frac{1}{z^2}=z-\frac{1}{x^2}=1 .
$$
Tính giá trị biểu thức $P=x \sqrt{y-1}+y \sqrt{z-1}+z \sqrt{x-1}$.
b) Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a-a^3 \geq b+b^3$. Chứng minh rằng $a^2+b^2<1$.
Câu 2. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
8\left(x^4+y^2-x y^3\right)-9 x=0 \\
8\left(y^4+x^2-y x^3\right)-9 y=0
\end{array}\right.
$$
Câu 3. (4,0 điểm)
Xét phương trình $x^{31}+y^5=z^{2018}$.
a) Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên $x, y, z$ thỏa mãn phương trình trên.
b) Có tồn tại hay không bộ ba số nguyên dương $x, y, z$ thoả mãn phương trình trên?
Câu 4. ( 6,0 điểm)
Cho đường thẳng $d$ và điểm $A$ cố định không thuộc $d, H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$. Các điểm $B, C$ thay đổi trên $d$ sao cho $\overline{H B} \overline{H C}=-1$. Đường tròn đường kính $A H$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $M, N$.
a) Chứng minh đường thẳng $M N$ đi qua một điểm cố định.
b) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $B M C$. Chứng minh $O$ chạy trên một đường thẳng cố định.
