Đề thi thử HSG Toán vòng 1 lần 2 năm 2020 – 2021 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương
Vào một ngày đáng nhớ trong tháng 9 năm 2020, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Hùng Vương, tọa lạc tại tỉnh Bình Dương, đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi thử dành cho đội tuyển học sinh giỏi môn Toán vòng 1 lần 2 năm học 2020 – 2021. Sự kiện này đánh dấu một cột mốc quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho các học sinh tài năng, nhằm thử thách và rèn luyện năng lực của họ trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi thử này được thiết kế với tính chuyên môn cao, bao gồm 04 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic một cách sâu sắc. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đòi hỏi sự tập trung và kiên nhẫn cao độ từ các học sinh. Để đảm bảo tính công bằng và khách quan, các thí sinh không được phép sử dụng tài liệu hay máy tính khi làm bài, buộc họ phải dựa vào kiến thức và kỹ năng tư duy của bản thân.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội quý báu để các học sinh được trau dồi và thể hiện năng lực của mình trong môn Toán. Nó cũng là một bước đệm quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho các kỳ thi lớn hơn trong tương lai, giúp các em có thể đánh giá và điều chỉnh phương pháp học tập của mình một cách hiệu quả hơn.
Trích dẫn Đề thi thử HSG Toán vòng 1 lần 2 năm 2020 – 2021 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương
Câu 1. (5 điểm)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a b+b c+c a+2 a b c=1$. Chứng minh rằng:
$$
\frac{a(a+1)}{(2 a+1)^2}+\frac{b(b+1)}{(2 b+1)^2}+\frac{c(c+1)}{(2 c+1)^2} \leq \frac{9}{16} \text {. }
$$
Câu 2. (5 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $P(a)^2+P(b)^2+P(c)^2=P(a+b+c)^2+2$ với mọi bộ số $(a ; b ; c)$ thỏa mãn $a b+b c+c a+1=0$.
Câu 3. (5 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $(m ; n ; k)$ thỏa mãn $5^m+7^n=k^3$.
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm $H$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C$, $C A, A B$. Đường tròn $(M N P)$ lần lượt cắt các đường tròn $(M C A),(M A B)$ tại điểm thứ hai là $E, F$. Giả sử $M E$, $M F$ theo thứ tự cắt $A C, A B$ tại $K, L$.
a) Chứng minh rằng $O H$ vuông góc với $K L$ tại điểm $S$.
b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Các điểm $Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ lên $A C, A B$. Gọi $X$ là giao điểm của $K Z$ và $L Y$. Chứng minh rằng $A, G, S, X$ cùng nằm trên một đường tròn.
