Đề thi thành lập đội tuyển HSG Toán 12 dự thi Quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận
Trong năm học 2016 – 2017, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Thuận đã tổ chức kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông, nhằm lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất để tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia. Đề thi này bao gồm bốn bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt.
Các bài toán trong đề thi được thiết kế để kiểm tra khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Chúng bao gồm các lĩnh vực như đại số, hình học, giải tích và xác suất thống kê. Mỗi bài toán đòi hỏi các bước giải quyết chi tiết, sử dụng các phương pháp và kỹ thuật toán học tinh tế.
Đề thi này không chỉ là một thử thách về kiến thức mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện tài năng và niềm đam mê với môn Toán. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho tỉnh Bình Thuận tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, nơi họ sẽ cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề thi thành lập đội tuyển HSG Toán 12 dự thi Quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận
Bài 1. (5 điểm)
a) Cho hàm số $y=\frac{1}{3} x^3+(m-1) x^2-(6 m+3) x+\frac{2}{3}$.
Với các giá trị nào của $m$, hàm số đồng biến trên khoảng $(4 ;+\infty)$ ?
b) Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình $\left|x^2-4 x+3\right|=m$.
Bài 2. (3 điểm)
Cho các số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng:
$$
\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \geq \frac{x y}{x+y}+\frac{y z}{y+z}+\frac{z x}{z+x} \text {. }
$$
Bài 3. (4 điểm)
a) Tìm $\lim u_n$ với $u_n=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \ldots \frac{2 n+1}{2 n+2}$.
b) Cho dãy số $\left(v_n\right)$ định bời $v_1=1$ và $v_{n+1}=\frac{\sqrt{1+v_n^2}-1}{v_n}$ với mọi $n \geq 1$.
Tìm công thức tính $v_n$ theo $n$.