Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)
Vào ngày 23 tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk đã tổ chức một kỳ thi quan trọng nhằm thành lập các đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2020 – 2021 môn Toán. Kỳ thi này diễn ra vào ngày thứ hai, đánh dấu một bước quan trọng trong quá trình tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học tại tỉnh Đắk Lắk.
Đề thi lập đội tuyển Học sinh giỏi Toán THPT năm 2020 – 2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk soạn thảo gồm 01 trang với 04 bài toán khó khăn và thử thách. Thời gian dành cho các thí sinh để hoàn thành bài thi là 180 phút, đòi hỏi sự tập trung cao độ, kiến thức vững vàng và khả năng tư duy logic xuất sắc.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh giỏi Toán thể hiện năng lực mà còn là cơ hội để các em được tuyển chọn vào đội tuyển đại diện cho tỉnh Đắk Lắk tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2020 – 2021 môn Toán. Đây là một vinh dự lớn lao và cũng là thách thức không nhỏ đối với các học sinh tài năng trong lĩnh vực này.
Trích dẫn Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)
Cân 1: (5,0 điểm).
Cho dãy số thực $\left(a_n\right)$ thỏa mãn:
$$
a_1=1, a_{1011}=0, a_{n+1}=2 a_2 a_n-a_{n-1}(n>1)
$$
Tính tổng $a_{2020}+a_2$.
Câu 2: (5,0 điểm).
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên $a_1, a_2, \ldots, a_n$ để đa thức $f_n(x)=x^{2 n+2}-2\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)^2 x^{n+1}+\left(a_1^4+a_2^4+\ldots+a_n^4+1\right)$ có ít nhất một nghiệm nguyên.
Câu 3: (5,0 điểm).
Cho $a, b$ là hai số nguyên dương sao cho $\frac{a+b^3}{a^2+3 a b+3 b^2-1}$ là một số nguyên.
Chứng minh rằng $a^2+3 a b+3 b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1 .
