Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 1)
Vào ngày 22 tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk đã tổ chức kỳ thi đầu tiên trong quá trình thành lập các đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2020 – 2021 môn Toán. Kỳ thi này đánh dấu bước khởi đầu quan trọng trong việc tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất của tỉnh để tham gia cuộc thi danh giá cấp quốc gia.
Đề thi lập đội tuyển Học sinh giỏi Toán THPT năm 2020 – 2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk soạn thảo gồm 01 trang với 04 bài toán khó khăn và thách thức. Thời gian dành cho các thí sinh để hoàn thành bài thi là 180 phút, đòi hỏi sự tập trung cao độ và khả năng tư duy logic, phân tích vấn đề một cách sâu sắc. Đề thi này được xem là một thước đo quan trọng để đánh giá năng lực toán học của các học sinh, đồng thời là cơ sở để lựa chọn những ứng viên xuất sắc nhất tham gia đội tuyển tỉnh.
Trích dẫn Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 1)
Câu 1: (5,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số thực $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^6+y^3+2 x^2=\sqrt{x y-x^2 y^2} \\
4 x y^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2 x^2+\sqrt{1+(2 x-y)^2}
\end{array}\right.
$$
Câu 2: (5.0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x y)=f(x) f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}$ và $f\left(x^{2020}+y f(x)\right)=2021 x f(y)+f(f(x)), \forall x, y \in \mathbb{R}$.
Câu 3: (5,0 điểm).
Trên hai cạnh $A B$ và $A C$ của $\triangle A B C$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$. Hai điểm $M$ và $N$ chia đoạn thẳng $D E$ thành ba phần bằng nhau. Các đường thằng $A M$ và $A N$ cắt cạnh $B C$ lần lượt tại $I$ và $K$. Chứng minh rằng $I K \leq \frac{1}{3} B C$.
