Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
Trong năm học 2018 – 2019, trường Trung Học Phổ Thông Yên Lạc 2, tỉnh Vĩnh Phúc đã biên soạn một đề thi Khảo sát chất lượng dành cho đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán lớp 12. Đề thi này được thiết kế theo hình thức tự luận, bao gồm một trang với bảy bài toán khác nhau, yêu cầu các thí sinh hoàn thành trong thời gian 180 phút.
Đáng chú ý, đề thi này không chỉ đơn thuần là một bộ câu hỏi, mà còn được tích hợp với lời giải chi tiết cho từng bài toán. Điều này cho thấy sự chú trọng của nhà trường đối với quá trình học tập và rèn luyện của các học sinh, nhằm giúp họ hiểu sâu hơn về các khái niệm và phương pháp giải quyết vấn đề trong môn Toán.
Việc sử dụng hình thức tự luận trong đề thi này cũng phản ánh mục tiêu của nhà trường trong việc đánh giá khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng kiến thức của học sinh một cách toàn diện. Thay vì chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức lý thuyết, đề thi này đòi hỏi các em phải thể hiện khả năng phân tích, tổng hợp và giải quyết vấn đề một cách linh hoạt và sáng tạo.
Với cấu trúc và nội dung đa dạng, đề thi Khảo sát chất lượng đội tuyển Học sinh giỏi Toán lớp 12 của trường Yên Lạc 2 không chỉ là một công cụ đánh giá năng lực, mà còn là một cơ hội để các em học sinh được trau dồi và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi quan trọng trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
Câu 1 (2.5 điểm).
a) Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+4 m^2-2$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ bằng 4 với điểm $C(1 ; 4)$.
b) Cho hàm số $y=\frac{2 x-4}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$ và hai điểm $M(-3 ; 0), N(-1 ;-1)$. Tìm trên đồ thị hàm số $(C)$ hai điểm $A, B$ sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $M N$.
Câu 2 (2.0 điểm).
a) Giải phương trình: $4 \cos ^2 x(1+\sin x)+2 \sqrt{3} \cos x \cos 2 x=1+2 \sin x$.
b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn $\frac{5}{6}$.
Câu 3 (1.0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3 x^2-2 x-5+2 x \sqrt{x^2+1}=2(y+1) \sqrt{y^2+2 y+2} \\ x^2+2 y^2=2 x-4 y+3\end{array}(x, y \in \mathbb{R})\right.$
Câu 4 (1.5 điểm). Cho hình hộp đứng $A B C D \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có các cạnh $A B=A D=2, A A_1=\sqrt{3}$ và góc $\widehat{B A D}=60^{\circ}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A_1 D_1$ và $A_1 B_1$.
a) Chứng minh rằng $A C_1$ vuông góc với mặt phẳng $(B D M N)$.
b) Tính thể tích khối chóp $A \cdot B D M N$.
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$, đáy $A B C D$ là hình chữ nhật có $A B=3, B C=6$, mặt phẳng $(S A B)$ vuông góc với đáy, các mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ cùng tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$ bằng $\sqrt{6}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ và cosin góc giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$.
Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $(O x y)$, cho tam giác $A B C$ ngoại tiếp đường tròn tâm $J(2 ; 1)$. Biết đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $A B C$ có phương trình: $2 x+y-10=0$ và $D(2 ;-4)$ là giao điểm thứ hai của $A J$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $A B C$ biết $B$ có hoành độ âm và $B$ thuộc đường thẳng có phương trình $x+y+7=0$.
