Đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình
Vào một buổi sáng thu đẹp trời tại tỉnh Ninh Bình, các tài năng trẻ đam mê môn Toán đã tề tựu về Sở Giáo dục và Đào tạo để tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Trung học Phổ thông năm học 2020 – 2021. Không khí thi cử tràn ngập sự hứng khởi và quyết tâm của các thí sinh, những tâm hồn trẻ đang khát khao chinh phục những thử thách mới.
Đề thi năm nay gồm 4 bài toán đầy thách thức, được thiết kế để thăm dò sâu sắc kiến thức và tư duy logic của các học sinh. Trong vòng 180 phút, các thí sinh phải vận dụng tối đa trí tuệ và kỹ năng giải quyết vấn đề để chinh phục những câu hỏi khó nhằn. Mỗi bước tính toán, mỗi phép biến đổi đều đòi hỏi sự tập trung cao độ và sự kiên trì bền bỉ.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng, mà còn là cơ hội để họ trau dồi bản lĩnh, rèn luyện ý chí và khám phá những giới hạn mới của chính mình. Đây là nơi những tâm hồn đam mê Toán học được thỏa sức bay cao, vượt qua những giới hạn của kiến thức và đạt đến những tầm cao mới trong lĩnh vực này.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình
Câu 1 (8,0 điểm)
a) Giải phương trình: $(2 x-4) \sqrt{3 x-2}+\sqrt{x+3}=5 x-7+\sqrt{3 x^2+7 x-6}$.
b) Cho các số thực dương $x, y$. Chứng minh rằng:
$$
(\sqrt{x}+\sqrt{y})\left(\frac{1}{\sqrt{x+3 y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3 x}}\right) \leq 2 \text {. }
$$
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi công thức: $u_n=\left\{\frac{2^{2 n+1}+n^2+n+2}{2^{n+1}+2}\right\}, n \in \mathbb{N}$ (trong đó $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ và $\{x\}=x-[x]$ ).
a) Tính sáu số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$.
b) Tính giới hạn của đãy số $\left(u_n\right)$.
c) Có bao nhiêu số hạng của dãy số $\left(u_n\right)$ với $n \leq 86$ thỏa mãn: $\frac{2526 \cdot 2^{n-99}}{2^n+1} \leq u_n \leq \frac{23}{65}$ ?
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C$ có tâm $S$, cắt đường thẳng $A B$ tại điểm $X$ khác $B$ và cắt đường tròn Euler của tam giác $A B C$ tại hai điểm $D, E$. Gọi $K, L$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $S$ qua $A B, A C$. Chứng minh rằng:
a) $X O \perp A C$.
b) Đường thẳng $K L$ đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác $A B C$ và hai đường thẳng $A D, A E$ đối xứng nhau qua đường phân giác trong của $\widehat{B A C}$.
