Đề thi HSG Toán cấp trường năm 2020 – 2021 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa
Trong năm học 2020 – 2021, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa đã tổ chức kỳ thi Học Sinh Giỏi môn Toán cấp trường. Kỳ thi này được chia làm hai phần, diễn ra trong hai ngày liên tiếp. Ngày thi đầu tiên bao gồm bốn bài toán, trong khi ngày thi thứ hai gồm ba bài toán. Mỗi phần thi có thời gian làm bài là 180 phút, tương đương với ba giờ.
Đề thi Học Sinh Giỏi môn Toán cấp trường năm học 2020 – 2021 tại trường THPT chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa được thiết kế nhằm đánh giá năng lực và kiến thức toán học của các học sinh giỏi. Các bài toán trong đề thi được xây dựng dựa trên nội dung chương trình giảng dạy của nhà trường, đồng thời cũng đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic cao từ các thí sinh.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh giỏi toán học thể hiện năng lực của mình, mà còn là cơ hội để nhà trường phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ trong lĩnh vực này. Những học sinh đạt thành tích cao trong kỳ thi sẽ được đề cử tham gia các kỳ thi cấp cao hơn, đại diện cho trường và tỉnh Thanh Hóa.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán cấp trường năm 2020 – 2021 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa
Bài 1. (5 điểm)
Cho dãy $\left(x_n\right), n=0,1, \ldots$ xác định bởi $x_0=1$ và với mỗi $n \geq 0$, đặt $x_{n+1}=3 x_n+\left[x_n \sqrt{5}\right]$ (ở đây $[a]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$ ). Tìm $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=0}^n \frac{x_i}{2^{3 i}}$.
Bài 2. (5 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ sao cho với mọi $a, b \in \mathbb{R}$ mà $a^2-b^2 \in \mathbb{Q}$ thì $P(a)-P(b) \in \mathbb{Q}$.
Bài 3. (5 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp $(O)$. Giả sử $O A$ cắt các đường cao từ $B$ và $C$ của tam giác $A B C$ lần lượt tại $P, Q$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $A B C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $P Q H$ thuộc một trung tuyến của tam giác $A B C$.
Bài 4. (5 điểm)
Bảng ô vuông gồm $m$ hàng và $n$ cột, với mỗi ô vuông con được đặt một trong hai số: 0 hoặc 1 . Một bảng được gọi là “tốt” nếu tổng các số của mỗi dòng, của mỗi cột, là số chẵn. Hỏi:
a) Có bao nhiêu bảng số như trên?
b) Có bao nhiêu bảng “tốt”?
