Đề thi HSG Toán 12 (vòng 2) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk
Vào Thứ Năm, ngày 10 tháng 09 năm 2020, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Nguyễn Du, tỉnh Đắk Lắk đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 vòng thi số 2. Đây là một sự kiện quan trọng trong lịch trình giáo dục của nhà trường, nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất để đại diện cho trường tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và quốc gia.
Đề thi Học Sinh Giỏi Toán 12 (vòng 2) năm 2020 – 2021 tại trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk được biên soạn theo dạng đề tự luận, gồm 01 trang với 05 bài toán. Đây là một định dạng đề thi phổ biến trong các kỳ thi học sinh giỏi, yêu cầu học sinh không chỉ thể hiện kiến thức toán học mà còn phải có khả năng tư duy logic, giải quyết vấn đề và trình bày lý luận một cách rõ ràng và súc tích. Thời gian dành cho học sinh làm bài thi là 180 phút, đủ để các em thể hiện hết năng lực của mình.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các học sinh thể hiện tinh thần học tập nghiêm túc, ý chí vượt khó và khát vọng chinh phục tri thức. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được tuyển chọn để đại diện cho trường tham gia các kỳ thi cấp cao hơn, góp phần nâng cao vị thế của nhà trường trong lĩnh vực giáo dục toán học.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 (vòng 2) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho $\left(a_n\right) ;\left(b_n\right)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}a_1=2020 ; b_1=\frac{1}{2020} \\ a_{n+1}=\sqrt{a_n+b_n+2} \\ b_{n+1}=\sqrt{2 a_n+b_n+6}\end{array}\right.$. Tính giới hạn $\left(a_n\right) ;\left(b_n\right)$ nếu có.
Bài 2. (4,0 điểm)
Tìm các đa thức $P(x), Q(x) \in \mathbb{R}[x]$ khác đa thức không và có bậc bé nhất thỏa mãn:
$$
P\left(x^2\right)+Q(x)=P(x)+x^5 Q(x), \forall x \in \mathbb{R} \text {. }
$$
Bài 3. (4,0 điểm)
Tìm tất cả $n$ tự nhiên để $A=\underbrace{2^{2^2}}_{n \leq \bar{\sigma} 2}-2$ viết được thành $a^3+b^3+c^3$ với $a, b, c$ nguyên.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác $A B C(A C>A B)$. Lấy hai điểm $M, N$ lần lượt trên $A B$ và $A C$ sao cho $M N$ song song với $B C$. Gọi $P$ là giao điểm của hai đoạn thẳng $B N$ và $C M$. Gọi $A^{\prime}$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $B C ;(\omega)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A M N$.
a) Gọi $E$ là điểm thuộc đường tròn $(\omega)$ sao cho $A E / / M N$. Chứng minh rằng: $E, P, A^{\prime}$ thẳng hàng.
b) Gọi $F$ là giao điểm thứ hai của $A^{\prime} P$ với đường tròn $(\omega)$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A A^{\prime} F$. Chứng minh $I F$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $B F C$.
Bài 5. (4,0 điểm)
Cho tập hợp $A=\{1 ; 2 ; \ldots ; 101\}$, tô màu ít nhất 50 phần tử của $A$ sao cho: nếu $a, b \in A(a, b$ không nhất thiết phân biệt) được tô màu và $a+b \in A$ thì $a+b$ cũng được tô màu. Gọi $S$ là tổng tất cả các số không được tô màu của $A$. Tìm giá trị lớn nhất của $S$.
