Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk
Vào ngày 09 tháng 09 năm 2020, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Nguyễn Du, tỉnh Đắk Lắk đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 vòng thi số 1. Sự kiện này nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để đại diện cho nhà trường tham gia các kỳ thi cấp cao hơn.
Đề thi Học Sinh Giỏi Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 tại trường chuyên Nguyễn Du, tỉnh Đắk Lắk được biên soạn theo hình thức tự luận, bao gồm 01 trang với 05 bài toán khó và phức tạp. Thời gian dành cho học sinh làm bài thi là 180 phút, đòi hỏi sự tập trung cao độ, kiến thức vững vàng và kỹ năng giải quyết vấn đề xuất sắc.
Việc tổ chức kỳ thi này không chỉ nhằm mục đích tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi mà còn là cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực, kiến thức và sự say mê với môn Toán học. Đây cũng là bước đệm quan trọng giúp các em chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi cấp cao hơn trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk
Bài 1. (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: $x^4+2 x^3+2 x^2-2 x+1=\left(x^3+x\right) \sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x y+2=y \sqrt{x^2+2} \\ y^2+2(x+1) \sqrt{x^2+2 x+3}=2 x^2-4 x\end{array}\right.$.
Bài 2. (3,0 điểm) Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$$
\frac{1+x}{y+z}+\frac{1+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y} \leq 2\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)
$$
Bài 3. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{Z}^{+}$, luôn tồn tại $m \in \mathbb{N}$ sao cho:
$$
(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m} \text {. }
$$
Bài 4. (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(C)$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $A B$ và $C D, A D$ và $B C, A C$ và $B D$. Gọi $I_1, I_2, I_3, I_4$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp các tam giác $A B N, B C M, C D N$ và $A D M$ tương ứng với các đỉnh $A, C, D$ và $D$.
a) Chứng minh các điểm $I_1, I_2, I_3, I_4$ đồng viên.
b) Gọi $I$ là tâm đường tròn qua $I_1, I_2, I_3, I_4$. Chứng minh $P I$ vuông góc với $M N$.
Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$
f(x+f(y))-f(f(x)-x)=f(y)-f(x)+2 x+2 y, \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
