Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Trong nỗ lực không ngừng nâng cao chất lượng giáo dục và phát hiện tài năng trẻ, vào ngày …/ 10/ 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức một sự kiện học thuật quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 chương trình Trung Học Phổ Thông chuyên năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong môn Toán, đáp ứng chương trình giảng dạy chuyên sâu của bậc Trung Học Phổ Thông chuyên.
Đề thi Học sinh giỏi Toán 12 chương trình THPT chuyên năm học 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc biên soạn theo dạng đề tự luận, bao gồm 05 bài toán yêu cầu sự hiểu biết sâu rộng và khả năng tư duy logic cao. Thời gian làm bài là 180 phút, đảm bảo tính khách quan và công bằng cho tất cả thí sinh. Đề thi được trình bày trên 01 trang, kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm rõ ràng, giúp các giáo viên chấm thi dễ dàng đánh giá và xếp loại thí sinh một cách chính xác.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực, đam mê và sự nỗ lực trong việc chinh phục tri thức, góp phần phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao cho tỉnh Vĩnh Phúc.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1.
a) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ được xác định bởi $x_1=1$ và $x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+3}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{\text {. }}$. Chứng minh rằng dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
b) Tìm tất cả các hàm số xác định, liên tục trong khoảng $(0 ;+\infty)$ và thỏa mãn:
$$
f(x)=f\left(\frac{x+2}{x+3}\right)+\frac{x^2+2 x-2}{x+3} \text { với mọi } x>0 \text {. }
$$
Câu 2 .
a) Cho số tự nhiên $a \geq 2$ thỏa mãn $a+1$ có ước nguyên tố lẻ $p$. Chứng minh rằng $\left(a^{p^2}+1\right) \vdots: p^2$.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên $n$ sao cho $\left(2019^n+1\right)$ :n.
Câu 3. Cho tam giác nhọn $A B C$ có đường cao $A H$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Đường tròn $(A)$ có tâm $A$ bán kính $A E$ cắt đoạn thẳng $A H$ tại điểm $K$. Đường thẳng $I K$ cắt đường thẳng $B C$ tại $P$. Các đường thẳng $D K$ và $P K$ cắt đường tròn $(A)$ lần lượt tại $Q$ và $T$ khác $K$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $T D P Q$ nội tiếp và ba điểm $Q, A, P$ thẳng hàng.
b) Đường thẳng $D K$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai là $X$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $A X, E F, T I$ đồng quy.
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính $A P$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.
Câu 4. Cho $P(x)$ là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức $Q(x)$ với hệ số thực sao cho $(P(x))^2=P(Q(x))$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức $P(x)$ đều bằng nhau.
