Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình
Trong nỗ lực không ngừng nhằm thúc đẩy sự phát triển của giáo dục Toán học và tôn vinh các tài năng trẻ, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 THPT năm học 2019 – 2020 vào Thứ Ba, ngày 10 tháng 12 năm 2019. Đây là một sự kiện quan trọng, nơi các học sinh xuất sắc có cơ hội thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi được thiết kế một cách chuyên nghiệp và khắt khe, gồm 05 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp. Với chỉ 01 trang, đề thi đòi hỏi các học sinh phải tập trung cao độ và sử dụng thời gian làm bài 90 phút một cách hiệu quả.
Điều đáng chú ý là đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, cho phép các thí sinh và giáo viên hướng dẫn có thể tham khảo và học hỏi từ những cách giải đúng đắn và hiệu quả. Điều này không chỉ giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng của các học sinh mà còn thúc đẩy sự phát triển của giáo dục Toán học tại tỉnh Quảng Bình.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 THPT năm học 2019 – 2020 tại Quảng Bình là một minh chứng cho sự nỗ lực không ngừng của Sở Giáo dục và Đào tạo trong việc tạo ra một môi trường học tập thách thức và phát triển tài năng cho các học sinh. Nó cũng là một cơ hội để các em học sinh giỏi được khẳng định vị trí của mình và tiếp tục theo đuổi đam mê với Toán học.
Với sự chuẩn bị chu đáo và quyết tâm cao độ, các thí sinh đã sẵn sàng bước vào cuộc chiến trí tuệ này, thể hiện khả năng và nỗ lực của mình trước những thử thách đầy thú vị và khó khăn. Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 THPT năm học 2019 – 2020 tại Quảng Bình hứa hẹn sẽ là một sân chơi đầy màu sắc và hấp dẫn, nơi tài năng và sự cố gắng được tôn vinh.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình
Câu 1 (2,0 điểm).
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x+1}{\sqrt{2+\sin 2 x}}$.
b. Cho hàm số $y=\frac{x}{1-x}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A(-1 ; 1)$. Tìm các giá trị của $\mathrm{m}$ để đường thẳng $(d): y=m x-m-1$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $A M^2+A N^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (2,0 điểm).
a. Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{1+2019^x}$. Tính tỉ số $\frac{P}{Q}$, với $P=f^{\prime}(1)+2 f^{\prime}(2)+\ldots+2019 f^{\prime}(2019)$ và $Q=f^{\prime}(-1)+2 f^{\prime}(-2)+\ldots+2019 f^{\prime}(-2019)$.
b. Giải phương trình: $\log _2\left[3 \log _2(3 x-1)-1\right]=x$.
Câu 3 (2,0 điểm).
a. Cho tam giác đều $A B C$ cạnh $8 \mathrm{~cm}$. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh $1 \mathrm{~cm}$ bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác $\mathrm{ABC}$ (như hình vẽ). Gọi $S$ là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh $1 \mathrm{~cm}$. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc $S$. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác $\mathrm{ABC}$ và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh $1 \mathrm{~cm}$ ở trên.
b. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_1+u_2+\ldots+u_{2020}=4\left(u_1+u_2+\ldots+u_{1010}\right) \\
\log _3^2 u_3+\log _3^2 u_5+\log _3^2 u_{14}=2
\end{array} .\right.
$$
Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $\mathrm{a}, S A \perp(A B C D), S A=a$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ qua $C D$ cắt $S A, S B$ lần lượt tại $M, N$. Đặt $A M=x$, với $0<x<a$.
a. Tứ giác $M N C D$ là hình gì? Tính diện tích tứ giác $M N C D$ theo $a$ và $x$.
b. Xác định $x$ để thể tích khối chóp $S . M N C D$ bằng $\frac{2}{9}$ lần thể tích khối chóp $S . A B C D$.
