Đề thi HSG Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
Vào ngày 10 tháng 06 năm 2020, Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thành Phố Hồ Chí Minh đã tổ chức kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi lớp 12 cấp thành phố môn thi Toán cho năm học 2019 – 2020. Đây là một sự kiện quan trọng nhằm tôn vinh và khuyến khích các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học tại thành phố lớn nhất Việt Nam.
Đề thi được thiết kế với mức độ khó khăn cao, gồm 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic một cách sâu sắc. Thang điểm tối đa là 20 điểm, và thời gian làm bài được quy định là 90 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng giải quyết vấn đề một cách toàn diện.
Việc tổ chức kỳ thi này không chỉ là một cơ hội để các học sinh giỏi thể hiện năng lực mà còn là một nỗ lực của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thành Phố Hồ Chí Minh trong việc nâng cao chất lượng giáo dục, khuyến khích phong trào học tập và nghiên cứu Toán học tại các trường trung học phổ thông trên địa bàn thành phố.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
Bài 1. (4 điểm)
Giải phương trình: $4^{\log _{2020} x}+\log _2\left(-2+x^{\log _{2020} 4}\right)=2^{\log _{2020} x}+\log _{2020} x+2$.
Bài 2. (4 điểm)
Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $d$ là đường thẳng di động đi qua điểm $I(1 ; 1)$ và cắt $(C)$ tại hai điểm $M, N$. Tính khoảng cách từ điểm $A(2 ;-3)$ đến $d$ khi tam giác $A M N$ có diện tích nhỏ nhất.
Bài 3. (4 điểm)
Cho hình lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, khoảng cách từ $A^{\prime}$ đến $B B^{\prime}$ và $C C^{\prime}$ lần lượt bằng $\sqrt{3}$ và 2 , góc giữa hai mặt phẳng $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ và $\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right)$ bằng $60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ là trung điểm $M$ của $B^{\prime} C^{\prime}$ và $A^{\prime} M=\sqrt{13}$.
a) Tính khoảng cách từ $M$ đến $A A^{\prime}$.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
Bài 4. (4 điểm)
Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{2} x^2-m x$ và $g(x)=\frac{x-m}{x-1}$, tham số $m \neq 1$, có đồ thị $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$. Biết rằng tồn tại đúng hai số $x_0 \in(2 ; 3)$ sao cho nếu gọi $d_1, d_2$ là tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ $x_0$ thuộc $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$ và $d_1, d_2$ cắt nhau ở $A$, còn $d_1, d_2$ cắt trục $O x$ ở $B, C$ thì $A B=A C$. Tìm tất cả các giá trị $m$.
Bài 5. (4 điểm)
Cho tập hợp $X=\{x \mid x \in \mathbb{Z} ;-5 \leq x \leq 5 ; x \neq 0\}$. Chọn ngẫu nhiên 4 số đôi một phân biệt $a, b, c, d \in X$. Tính xác suất để hàm số $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ (với $a d \neq b c$ ) có đồ thị $(C)$ mà cả $(C)$ lẫn tiệm cận đứng của $(C)$ đều cắt trục $O x$ theo chiều dương.