Đề thi HSG Toán 12 năm 2022 – 2023 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định
Với mong muốn cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh lớp 12, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bình Định. Kỳ thi này đã diễn ra vào thứ Sáu, ngày 16 tháng 09 năm 2022.
Đề thi này sẽ là tài liệu quý báu giúp các em học sinh nâng cao kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài tập Toán khó, từ đó chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi quan trọng sắp tới. Đồng thời, đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô trong việc biên soạn đề thi, chuẩn bị bài giảng và định hướng ôn luyện cho học sinh.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 năm 2022 – 2023 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định
Bài 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(x^3-y^3\right)-3\left(x^2-y^2\right)+6(x-y)=3 \ln \left(\frac{\sin y+\cos y+2}{\sin x+\cos x+2}\right) \\ x y=\sqrt{16 x+12 y+45}\end{array}\right.$ với $(x, y \in \mathbb{R})$.
Bài 2. (3 điểm)
Cho dãy số $\left(x_n\right): x_1=\sqrt{2026}, x_{n+1}=x_n^2-2$ với $n=1,2, \ldots$ Tìm giới hạn $\lim \frac{x_{n+1}}{x_1 x_2 \ldots x_n}$.
Bài 3. (3 điểm)
Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng với $a$ là số nguyên dương sao cho $a^p-1$ chia hết cho $p$ thì $a^p-1$ cũng chia hết cho $p^2$.
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác $A B C$ không cân, có $(I)$ là đường tròn nội tiếp, các tiếp điểm trên $B C, C A, A B$ lần lượt là $D, E$, $F ; A D$ cắt $E F$ tại $J$. Các điểm $M, N$ di chuyển trên $(I)$ sao cho $M, N, J$ thẳng hàng, $D M$ cắt $A C$ tại $P, D N$ cắt $A B$ tại $Q$. Gọi $U, V$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(M E ; F N),(M F ; E N)$.
a. Gọi $G$ là giao điểm của $E F$ và $B C$, chứng minh $G, U, V$ thẳng hàng.
b. Chứng minh $M N, P Q, U V$ đồng quy.
