Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi
Vào ngày 19 tháng 9 năm 2020, tại tỉnh Quảng Ngãi, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Lê Khiết đã tổ chức một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục – kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán dành cho khối lớp 12 năm học 2020 – 2021. Sự kiện này nhằm tôn vinh và khuyến khích những tài năng xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời tạo cơ hội cho các học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình.
Đề thi được thiết kế với 7 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng tư duy logic và khả năng phân tích, tổng hợp để giải quyết các vấn đề phức tạp. Thời gian làm bài là 180 phút, không bao gồm thời gian phát đề, nhằm đảm bảo tính công bằng và khách quan trong quá trình thi cử.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn thể hiện nỗ lực và cam kết của nhà trường trong việc nâng cao chất lượng giáo dục, khuyến khích học sinh phát triển năng lực và đam mê học tập. Bằng việc tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi, trường THPT Chuyên Lê Khiết đã tạo ra một sân chơi lành mạnh, thúc đẩy sự cạnh tranh tích cực và khơi dậy niềm đam mê học tập trong cộng đồng học sinh.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi
Bài 1: (2 điểm) Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+3(5 m+2) x-20$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trong khoảng $(-3 ; 2)$.
Bài 2: (3 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=a>1 \\ 2 u_{n+1}=u_n^2+2 u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$
Đặt $S_n=\frac{1}{u_1+2}+\frac{1}{u_2+2}+\ldots+\frac{1}{u_n+2}$. Tính $\lim S_n$.
Bài 3: (5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) $9 \sin x+6 \cos x-3 \sin 2 x+\cos 2 x=8$.
b) $\left\{\begin{array}{l}x y^4+y^3+y^2+5 x=y^5+x y^2+y(x+5) \\ \sqrt{2 y^2-6 x+8}+2=\sqrt{x}+2021 x-2020 y\end{array} \quad, x, y \in \mathbb{R}\right.$.
Bài 4: (2 điểm) Cho một đa giác đều có 170 đường chéo. Chọn ngẫu nhiên 3 đinh từ các đinh của đa giác đó. Tính xác suất để tam giác tạo ra từ các đinh được chọn là tam giác vuông không cân.
Bài 5: (5 điểm)
a) Cho hình lập phương $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B^{\prime}, B C^{\prime}$ theo $a$.
b) Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $B_1, C_1, O_1$ lần lượt là điểm đối xứng với $B, C, O$ qua $A C, A B, B C ; K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B_1 C_1$. Chứng minh rằng $K, A, O_1$ thẳng hàng.
