Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Vào một ngày thu đẹp trời, khi những cơn gió nhẹ đầu mùa đã bắt đầu thổi qua các con phố, một sự kiện quan trọng đã diễn ra tại tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. Đó là kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021, được tổ chức bởi Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh vào Thứ Ba, ngày 06 tháng 10 năm 2020.
Đề thi này được coi là một thử thách đáng gờm đối với các học sinh, bao gồm 05 bài toán tự luận được trải dài trên 02 trang giấy. Trong suốt 180 phút, các thí sinh phải vật lộn với những câu hỏi khó nhằn, đòi hỏi sự tư duy sâu sắc và khả năng tính toán nhuần nhuyễn.
Không khí căng thẳng tràn ngập trong phòng thi, nơi mà mỗi tiếng đồng hồ tích tắc đều như một lời nhắc nhở về thời gian đang trôi qua. Các học sinh, với bút chì trên tay, miệt mài ghi chép và tính toán, cố gắng tìm ra những lời giải thuyết phục nhất cho từng bài toán.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Bài 1 (5,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{7 x-y}=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{6}{7 x-y}=2\end{array}\right.$.
b) Cho các số thực dương $x, y, z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$
P=\frac{x}{\sqrt{(2 x+y)(2 x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(2 y+x)(2 y+z)}}+\frac{z}{\sqrt{(2 z+x)(2 z+y)}}
$$
Bài 2 (3,0 điểm). Cho a là một số thực và dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi
$$
x_1=a ; x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}
\sqrt{x_n+3}-\frac{(2 n+1) x_n-n}{n+1} & \text { nếu } x_n \leq 1 \\
x_n+\frac{n}{x_n} & \text { nều } x_n>1
\end{array}, n \in \mathbb{N}^*\right. \text {. }
$$
a) Khi $a=2$. Chứng minh lim $\frac{x_n}{n}=1$ và xác định tất cả các số thực $\beta$ sao cho dãy số $\left(y_n\right)$ xác định bởi $y_n=n^\rho\left(\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_n}\right), \forall n \in \mathbb{N}$ * có giới hạn hữu hạn khác 0 .
b) Tìm tất cả các giá trị $a>0$ sao cho dãy số $\left(\frac{x_n}{n}\right)$ có giới hạn.
Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn ngoại tiếp đường tròn $(I)$ với $A B<A C$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với các đường thằng $B C, C A, A B$. Các đường thẳng $I D$ và $E F$ cắt nhau tại $J$. Đường thẳng $A J$ cắt đường tròn $(I)$ tại các điểm $K$ và $L$, với $K$ nằm giữa $A$ và $L$. Đường thẳng qua $A$ và song song với $B C$ cắt $I D, E F$ lần lượt tại $N$ và $S$. Đường thẳng qua $K$ và song song $B C$ cắt $(I)$ tại điểm $X(X \neq K)$. Đường thằng qua $L$ song song $B C$ cắt (I) tại điểm $Y(Y \neq L)$. Các đường thẳng $A X, A Y$ cắt $B C$ lần lượt tại $Q, P$.
a) Chứng minh $N D$ là phân giác của $\widehat{E N F}$ và $A J$ đi qua trung điểm $M$ của $B C$.
b) Chứng minh $M$ là trung điểm đoạn $P Q$.
