Đề thi HSG Toán 12 lần 2 năm 2019 – 2020 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc
Vào một ngày đáng ghi nhớ trong tháng 11 năm 2019, trường Trung Học Phổ Thông Đồng Đậu, tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp trường lần thứ 2 trong năm học 2019 – 2020. Sự kiện này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi mà còn mang ý nghĩa sâu sắc trong việc tiếp tục tuyển chọn những tài năng trẻ xuất sắc trong môn Toán, đồng thời giúp đội tuyển của nhà trường rèn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh sắp tới.
Đề thi HSG Toán 12 lần 2 năm học 2019 – 2020 tại trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc được biên soạn theo hình thức tự luận, bao gồm 01 trang với 10 bài toán, thời gian làm bài là 180 phút. Nội dung đề thi bao quát chương trình Toán 10, Toán 11 và Toán 12, đảm bảo tính toàn diện và thách thức cho các thí sinh. Đáng chú ý, đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, giúp các học sinh có thể tự đánh giá và rút ra những bài học quý báu từ quá trình giải quyết các bài toán.
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 lần 2 năm 2019 – 2020 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc
Câu 1 ( 1,0 điểm). Cho hàm số $y=\frac{1}{4} x^4-2 x^2+1$ có đồ thị là $(C)$. Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị $(C)$.
Câu 2 ( 1,0 điểm). Cho hàm số $y=\frac{2 x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\triangle P A B$ đều, biết $P(2 ; 5)$.
Câu 3 ( 1,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật $A B C D$ có chiều dài $A B=25 m$, chiều rộng $A D=20 m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $M N(M, N$ lần lượt là trung điểm $B C$ và $A D)$. Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $M N$, biết khi làm đường trên miền $A B M N$ mỗi giờ làm được $15 \mathrm{~m}$ và khi làm trong miền $C D N M$ mỗi giờ làm được $30 \mathrm{~m}$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.
Câu 4 ( 1,0 điểm). Tính tổng các nghiệm $x \in[-\pi ; \pi]$ của phương trình:
$$
2(\cos x+\sqrt{3} \sin x) \cos x=\cos x-\sqrt{3} \sin x+1 \text {. }
$$
Câu 5 ( 1,0 điểm). Trong cuộc thi: “Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc” do Đoàn trường THPT Đồng Đậu tổ chức vào tháng 11 năm 2019 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12 , có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3 . Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12 .
Câu 6 ( 1,0 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=e^{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}}$. Tính $u_1 \cdot u_2 u_3 \ldots u_{2019}$.
Câu 7 ( 1,0 điểm). Cho hình hộp đứng $A B C D \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có các cạnh $A B=A D=2, A A_1=\sqrt{3}$ và góc $\widehat{B A D}=60^{\circ}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A_1 D_1$ và $A_1 B_1$.
Chứng minh rằng $A C_1$ vuông góc với mặt phẳng $(B D M N)$.
Câu 8 (l,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$, đáy $A B C D$ là hình chữ nhật có $A B=3, B C=6$, mặt phẳng $(S A B)$ vuông góc với đáy, các mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ cùng tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$ bằng $\sqrt{6}$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot A B C D$ và cosin góc giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$.
