Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 – 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Đề thi Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp trường năm học 2021-2022 của trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương, là một đề thi quan trọng dành cho các học sinh giỏi toán lớp 12. Đề thi này được xây dựng với mục đích tạo ra một sân chơi lý thú, thử thách năng lực và khả năng tư duy toán học của các học sinh.
Đề thi bao gồm nhiều dạng bài tập đa dạng, từ lý thuyết đến ứng dụng, từ bài tập cơ bản đến bài tập nâng cao. Các câu hỏi được thiết kế nhằm kiểm tra kiến thức toán học nền tảng cũng như khả năng vận dụng sáng tạo của học sinh trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp.
Ngoài ra, đề thi còn cung cấp lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp học sinh có thể tự kiểm tra và rút ra bài học kinh nghiệm từ quá trình giải quyết bài tập. Lời giải chi tiết không chỉ cung cấp đáp án mà còn giải thích cách giải quyết vấn đề một cách logic và khoa học.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 – 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Câu 1. (2 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)_{n \geq 1}$ xác định bởi $u_1=0, u_{n+1}=\frac{u_n+3}{5-u_n}(n \geq 1)$.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(u_n\right)_{n \geq 1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt $T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{u_k-3}$. Tìm $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{T_n}{5 n+4}$.
Câu 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathrm{i} \rightarrow_{\mathrm{i}}$ sao cho:
$$
f(y-f(x))=f\left(x^{2018}-y\right)-2017 y f(x), \forall x, y \in \mathbf{i} .
$$
Câu 3. (2 điểm)
Có bao nhiêu cách lát kín bảng $2 \times 2022$ bởi các viên domino $1 \times 2$ và $2 \times 1$ ?
Câu 4. (2 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ với $A B<B C$. Cho $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $A B C$ và $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với $B C$ tại $K$. Đường thẳng $A K$ cắt $\omega$ tại điểm thứ hai $T$. Cho $M$ là trung điểm của $B C$ và $N$ là điểm chính giữa cung $B C$ chứa $A$ của $\omega$. Đoạn thẳng $N T$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $B I C$ ở $P$. Chứng minh rằng
a) Cho $K I$ cắt (BIC) tại điểm thứ hai $X$ thì $N ; T ; X$ thẳng hàng.
b) $P M \| A K$.
