Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Trong không khí tràn đầy quyết tâm và nhiệt huyết của các học sinh giỏi, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán năm học 2019 – 2020 vào Thứ Sáu, ngày 20 tháng 12 năm 2019. Đây là một sân chơi trí tuệ quan trọng, nơi các tài năng trẻ có cơ hội thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi được thiết kế một cách chuyên nghiệp và khắt khe, gồm 06 bài toán chung dành cho tất cả các thí sinh và 02 bài toán riêng biệt cho thí sinh hệ THPT và hệ GDTX. Với tổng cộng 02 trang, đề thi đòi hỏi các học sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo trong thời gian làm bài 90 phút.
Điều đáng chú ý là đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết, cho phép các thí sinh và giáo viên hướng dẫn có thể tham khảo và học hỏi từ những cách giải đúng đắn và hiệu quả. Điều này không chỉ giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng của các học sinh mà còn thúc đẩy sự phát triển của giáo dục Toán học tại tỉnh Lâm Đồng.
Kỳ thi này là một minh chứng cho sự nỗ lực không ngừng của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng trong việc tạo ra một môi trường học tập thách thức và phát triển tài năng cho các học sinh. Nó cũng là một cơ hội để các em học sinh giỏi được khẳng định vị trí của mình và tiếp tục theo đuổi đam mê với Toán học.
Với sự chuẩn bị chu đáo và quyết tâm cao độ, các thí sinh đã sẵn sàng bước vào cuộc chiến trí tuệ này, thể hiện khả năng và nỗ lực của mình trước những thử thách đầy thú vị và khó khăn. Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán năm học 2019 – 2020 tại Lâm Đồng hứa hẹn sẽ là một sân chơi đầy màu sắc và hấp dẫn, nơi tài năng và sự cố gắng được tôn vinh.
Trích dẫn Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Câu 1: (2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-x^3+3 x^2+3 m x-1$ nghịch biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\log _3\left(5-3^x\right)+x=0$.
b) Giải phương trình $\cos 2 x+7 \cos x-\sqrt{3}(\sin 2 x-7 \sin x)=8$.
Câu 3: (2,0 điểm)
Một chiếc cốc hình trụ có bán kính đáy bằng $5 \mathrm{~cm}$ và chiều cao $20 \mathrm{~cm}$ bên trong có một khối lập phương cạnh $6 \mathrm{~cm}$ như hình minh họa. Khi đổ nước vào cốc, khối lập phương sẽ nổi $\frac{1}{3}$ thể tích của nó lên trên mặt nước (mặt trên khối lập phương song song với mặt nước). Tính thể tích lượng nước đổ vào cốc để mặt trên của khối lập phương ngang bằng với miệng cốc khi nó nối lên. (lấy $\pi=3,14$ )
Câu 4: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x-2) \sqrt{y-1}-(y-3) \sqrt{x}=0 \\ x^2+y^2-x+4=2 y \sqrt{x+3}\end{array}\right.$.
Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật $A B=a, A D=2 a, S A$ vuông góc với mặt đáy, $S B$ tạo với mặt đáy một góc $60^{\circ}$, điểm $E$ thuộc cạnh $S A$ và $A E=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Mặt phẳng $(B C E)$ cắt $S D$ tại $F$. Tính thể tích khối đa diện $V_{A B C D E F}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $S D$ và $B E$.