Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hưng Yên
Kỳ thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh luôn là sự kiện quan trọng và được mong chờ hàng năm, đặc biệt với những em học sinh đam mê và có năng khiếu về môn Toán. Năm học 2021 – 2022, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên đã tổ chức kỳ thi này vào ngày 22/02/2022 dành cho học sinh lớp 12 THPT trên địa bàn toàn tỉnh.
Đề thi năm nay gồm 6 bài toán tự luận với thời gian làm bài là 180 phút, đòi hỏi kiến thức nâng cao và tư duy logic của thí sinh. Các dạng toán xuất hiện trong đề thi khá đa dạng, từ tìm tham số, phương trình cho đến hình học không gian, tổ hợp xác suất,… Mức độ của đề thi được đánh giá là khó, phù hợp với mục đích tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh. Cấu trúc đề thi cũng được sắp xếp hợp lý với các câu hỏi có độ khó tăng dần.
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi này, các em học sinh cần ôn luyện kỹ lưỡng kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng giải toán và tư duy logic. Bên cạnh đó, việc tham khảo đề thi và đáp án các năm trước, phân tích những câu hỏi khó cũng như chia sẻ kinh nghiệm ôn thi, làm bài sẽ giúp các em tự tin hơn khi bước vào phòng thi.
Kỳ thi học sinh giỏi Toán THPT không chỉ là cơ hội để các em thể hiện năng lực và niềm đam mê của bản thân, mà còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng những tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Đây cũng là tiền đề quan trọng giúp các em vững bước trên con đường chinh phục tri thức nói chung và môn Toán nói riêng trong tương lai.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hưng Yên
Câu I. (5,0 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}(2 m+1) x^2+\left(m^2+m\right) x+1$ nghịch biến trên khoảng $(2021 ; 2022)$.
2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x^2-3 x+m}$ có hai đường tiệm cận đứng và khoảng cách giữa hai đường tiệm cận đó bằng 5 .
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình $\frac{1}{2} \log _3 \frac{x^2-2 x+1}{9}+\log _{\frac{1}{3}}(\sqrt{x+1}+1)+1=0$.
2. Cho hàm số $f(x)=2 x+\sqrt{1+4 x^2}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho bất phương trình $(2 x+m) \cdot f(2 x+m) \cdot f\left(x-x^3\right)+x-x^3 \leq 0$ có nghiệm $x \in[-3 ; 3]$.
Câu III. (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có cạnh đáy bằng $a$. Trên cạnh bên $B B^{\prime}$ lấy điểm $M$ sao cho $B M=2 B^{\prime} M$. Biết góc giữa đường thẳng $A M$ và mặt phẳng $\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right)$ bằng $30^{\circ}$, tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ theo $a$.
2. Cho hình chữ nhật $A B C D$, điểm $M$ thuộc cạnh $C D$ sao cho $M C=2 M D$. Biết $A M=\sqrt{2}$ và $\cos \widehat{A M B}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$, tính thể tích khối tròn xoay khi cho miền tam giác $M A B$ quay quanh cạnh $A B$.
3. Cho tứ diện $A B C D$ nội tiếp trong hình cầu tâm $O$ bán kính $R$ với tâm $O$ nằm trong tứ diện. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $A O, B O, C O, D O$ với các mặt phẳng $(B C D),(C D A),(D A B),(A B C)$. Chứng minh rằng $O A^{\prime}+O B^{\prime}+O C^{\prime}+O D^{\prime} \geq \frac{4 R}{3}$.
