Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hưng Yên
Vào một ngày đầu năm 2021, tỉnh Hưng Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông cho năm học 2020 – 2021. Đây là một sự kiện quan trọng, thu hút sự tham gia của những học sinh xuất sắc nhất trong tỉnh, những tài năng trẻ đầy triển vọng trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi được thiết kế với 6 bài toán tự luận, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài kéo dài 180 phút, tạo ra một thử thách đáng gờm về sự tập trung và kiên nhẫn. Điều thú vị là học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay, buộc họ phải dựa vào khả năng tính toán và suy luận của bản thân.
Với chỉ một trang đề thi, nhưng mỗi bài toán đều là một thách thức đầy thú vị, đòi hỏi học sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài về kiến thức, mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện tài năng, sự nỗ lực và đam mê của mình trong môn Toán học.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hưng Yên
Câu I. (6,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=g(x)=x^2+(m+1) x+1$ ( $m$ là tham số thực). Tìm $m$ để đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)=x^3+(m-1) x^2+(1-m) x-1$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2, x_3$ thỏa mãn $g^2\left(x_1\right)+g^2\left(x_2\right)+g^2\left(x_3\right)=15$.
2. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=9-x^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(x^2+2 x\right)+\left(m^2-1\right)\left(\ln x-\frac{1}{x}\right)$ nghịch biến trên nửa khoảng $[1 ;+\infty)$.
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình $9^x+\left(x^2-2 x-1\right) \cdot 3^x-2 x^3-x^2=0 \quad(x \in \mathbb{R})$.
2. Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $\log _{a^2+b^2+20}(6 a+8 b-4)=1$ và các số thực dương $c, d$ thỏa mãn $(c+d) \log _3(2 c+d)+2 c^2+3 c d+d^2-4 c-4 d=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=(a-2 c)^2+(b-d)^2$.
