Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hậu Giang
Trong nỗ lực không ngừng nâng cao chất lượng giáo dục và khuyến khích tinh thần học tập, nghiên cứu của học sinh, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi học sinh giỏi môn Toán trung học phổ thông cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 do Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Hậu Giang biên soạn.
Kỳ thi này đã diễn ra vào ngày 19 tháng 04 năm 2019, tạo ra một sân chơi trí tuệ đầy thử thách và hấp dẫn cho các học sinh giỏi môn Toán trên khắp tỉnh Hậu Giang. Đề thi được thiết kế với mức độ khó khăn cao, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng, linh hoạt và sáng tạo.
Để giúp quý thầy, cô giáo và các em học sinh có thể tham khảo và nghiên cứu kỹ lưỡng, đội ngũ hdgmvietnam.org đã cung cấp đầy đủ đề thi, đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Điều này sẽ giúp các em học sinh có thể tự đánh giá năng lực của mình, xác định những lĩnh vực cần cải thiện và rèn luyện thêm.
Ngoài ra, tài liệu này cũng là một nguồn tham khảo quý giá cho quý thầy, cô giáo trong việc xây dựng và hoàn thiện chương trình giảng dạy, đồng thời giúp các nhà giáo dục đánh giá chất lượng đào tạo và xác định những lĩnh vực cần được chú trọng hơn trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hậu Giang
Câu I: (5,0 điểm)
1) Giải phương trình $(x-1) \sqrt{x+1}-x \sqrt{5-x}=3 x^2-4 x-1$ trên tập số thực.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=9 \\ x^2+2 y^2=x+4 y\end{array}\right.$ (với $x, y \in \mathbb{R}$ ).
Câu II: (3,0 điểm)
1) Cho hàm số $f: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
– $f(2)=2$;
– $\quad f(m n)=f(m) f(n) ; \forall m, n \in \mathbb{N}$;
– $f(m)>f(n), \forall m>n$.
Tính $f(1)$ và $f(6)$. Tìm $f(n)$ theo $n$.
2) Tìm các số nguyên $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình $a^3+b^3=(a+b)^2$.
Câu III: (4,0 điểm)
1) Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn điều kiện $x+y \leq 1$.
Chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x y}+4 x y$.
2) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau $u_1=4 ; u_2=5$ và $u_{n+2}=u_n^2-(n+1) u_{n+1}$, với $n \in \mathbb{N}, n \geq 1$. Tính $u_3$ và $u_4$. Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số trên.
