Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang
| | |

Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Vào một ngày thu đẹp trời, cụ thể là Thứ Ba, ngày 22 tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang đã tổ chức một sự kiện quan trọng – kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội lớn để các học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học được thể hiện tài năng và nỗ lực của mình.

Đề thi được thiết kế với 5 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài thi là 180 phút, tương đương với 3 giờ đồng hồ, một khoảng thời gian đủ dài để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề một cách toàn diện.

Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng và quyết tâm cao độ, các thí sinh đã bước vào cuộc thi với tâm thế tự tin và sẵn sàng chinh phục những thử thách phía trước. Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để khẳng định năng lực, mà còn là cơ hội để các học sinh được trui rèn kinh nghiệm và tinh thần cầu tiến, góp phần định hướng tương lai cho bản thân.

Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Câu 1. (4 điểm)
Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $0 \leq a \leq b \leq c$ và $a+b+c=a b+b c+c a$. Chứng minh rằng $\sqrt{b c}(a+1) \geq 2$.

Câu 2. (4 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $A D$, trực tâm $H$. Đường tròn đường kính $A H$ cắt $(O)$ tại điểm $Q$ khác $A$. Đường tròn đường kính $H Q$ cắt $(O)$ tại điểm $K$ khác $Q$. Gọi $M$ là trung điểm $B C$.
a) Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $M H$ cắt $B C$ tại $X$. Chứng minh rằng $X K$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $K D M$.
b) Đường thẳng $K Q$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $K D M$ tại $N$ khác $K$. Chứng minh rằng $M N$ chia đôi $A Q$.

Câu 3. (4 điểm)
Cho số thực $a$ và dãy số $\left(u_n\right)_{n \geq 1}$ xác định bởi $u_1=a, u_{n+1}=u_n^2+u_n+a^3 \quad(n \geq 1)$.
a) Chứng minh rằng, với dãy $a \in\left[-\frac{1}{2} ; 0\right]$, dãy số hội tụ và tìm giới hạn đó.
b) Cho $a=2020$. Chứng minh rằng $u_n^2+2020^3$ luôn có ít nhất $n+4$ ước số nguyên tố khác nhau.

Câu 4. (4 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho $2 k+1$ và $4 k+1$ đều là các số chính phương.
b) Với mỗi số tự nhiên $k$ thỏa mãn đề bài, chứng minh rằng $35 \mid\left(k^2-12 k\right)$.

Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

Tải tài liệu

5/5 - (2 votes)

Similar Posts

Để Lại Bình Luận

Địa chỉ email của bạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *