Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam
Trong không khí tràn đầy quyết tâm và nhiệt huyết của phong trào học tập, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi khối Trung học Phổ thông năm học 2018 – 2019 môn Toán dành cho học sinh lớp 12. Sự kiện này mang ý nghĩa quan trọng trong việc tôn vinh và khuyến khích những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời tạo ra một sân chơi trí tuệ đầy thử thách và hấp dẫn.
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam biên soạn được thiết kế theo hình thức tự luận, gồm 06 bài toán đòi hỏi sự sáng tạo, tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức sâu rộng. Thời gian làm bài dành cho các thí sinh là 180 phút, tạo ra một thử thách đáng gờm về sự tập trung và kiên trì.
Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài trí tuệ mà còn là cơ hội để các em học sinh thể hiện đam mê, nỗ lực và khát vọng chinh phục tri thức. Những thành tích xuất sắc sẽ là nguồn cảm hứng lớn lao, thúc đẩy các em tiếp tục phấn đấu, vươn tới những mục tiêu cao hơn trong tương lai. Đồng thời, kỳ thi cũng góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, tạo ra một môi trường học tập lành mạnh và năng động tại các trường Trung học Phổ thông trên địa bàn tỉnh Hà Nam.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam
Câu 1. (5,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=m x^3-3 m x^2+(2 m+1) x+3-m(1)$, với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\frac{1}{2} ; \frac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $A B$ đạt giá trị lớn nhất.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục $O y$, có tung độ là số nguyên nhỏ hơn 2019 và thỏa mãn từ điểm $M$ kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị $(C)$ sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục $O x$ ?
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Cho phương trình sau với $m$ là tham số thực
$$
\left(x^2-2 x\right) \cdot \log _{2019}^2\left(\sqrt{x^2-2 x+2011}\right)+1=m \cdot\left[\sqrt{\frac{x^2-2 x}{8}} \cdot \log _{2019}\left(x^2-2 x+2011\right)-\frac{1}{4}\right] .
$$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thỏa mãn $1 \leq|x-1| \leq 3$.
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\left\{\begin{array}{l}2019^{x+y}=\sqrt{x^2+1}+x \sqrt{y^2+1}+y \\ 25 x^2+9 x \sqrt{9 x^2-4}=2+\frac{18 y^2}{y^2+1}\end{array}\right.$
Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{1+\sin 2 x}}+\frac{\sin x-2 x \cos x}{e^x(1+\sin 2 x)}\right) d x$.