Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Cần Thơ
Trong bối cảnh giáo dục không ngừng phát triển, Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi khối THPT lớp 12 môn Toán năm học 2018 – 2019 vào ngày 27 tháng 02 năm 2019. Sự kiện này nhằm tôn vinh và khuyến khích những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, đồng thời thúc đẩy phong trào học tập và nghiên cứu môn học quan trọng này.
Đề thi được thiết kế một cách công phu, bao gồm 08 bài toán tự luận, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và logic. Thời gian làm bài thi là 180 phút, đủ để các thí sinh thể hiện toàn bộ năng lực của mình.
Để đảm bảo tính công bằng và minh bạch, đề thi được công bố kèm theo lời giải chi tiết, được trình bày một cách tỉ mỉ và chuyên nghiệp bởi quý thầy, cô giáo nhóm Toán VD – VDC. Lời giải này không chỉ cung cấp đáp án chính xác, mà còn giải thích chi tiết các bước giải quyết, giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và áp dụng kiến thức vào thực tế.
Kỳ thi này đánh dấu một cột mốc quan trọng trong quá trình học tập và phát triển của các học sinh giỏi môn Toán tại thành phố Cần Thơ. Nó không chỉ là một sân chơi để các tài năng trẻ thể hiện năng lực, mà còn là động lực thúc đẩy họ tiếp tục nỗ lực, phấn đấu và đạt được những thành tựu cao hơn trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Cần Thơ
Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số $y=x^4-8 m x^2+16 m^2-m+1(m \in R)$ có đồi thị $(C)$ và điểm $H(0 ; 1)$. Tìm tất cả giá trị $m$ để đồ thị $(C)$ có ba cực trị $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $A B C$.
Câu 2: (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở được $k$ khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là $\left(180-\frac{3 k}{2}\right)^2$ trăm đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó.
Câu 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $\log _3 \sqrt{x^2-x+1}+\log _{\frac{1}{3}}(1-2 x)+2 x=1-\sqrt{x^2-x+1}$
b) $\cos ^2 x-\sqrt{3} \cos x+6 \sin x \cdot \cos x=(\sin x+\cos x)^2-\sin ^2 x-\sin x$
Câu 4: ( 3 điểm)
a) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc $v_0(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-4 t+v_0(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$, trong đó $t$ (tính bằng giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái $x e$ đạp phanh. Tính vận tốc $v_0$, biết rằng từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét.
b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ. Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.
Câu 5: (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a, B A D=120^{\circ}$ . Biết các đường thẳng $A^{\prime} A, A^{\prime} B, A^{\prime} C$ cùng tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc bằng $60^{\circ}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B B^{\prime}, C C^{\prime}$.
a) Tính thể tích khối lăng trụ $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$.
b) Tính khoảng cách giữa $A D$ và mặt phẳng $\left(D^{\prime} M N\right)$
