Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc đua” trí tuệ đầy gay cấn – đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh. Đây chắc chắn sẽ là một “chặng đua” đầy thử thách và kịch tính cho những “tay đua” đam mê Toán học.
“Cuộc đua” này sẽ chính thức “khởi động” vào ngày 07 tháng 03 năm 2023. Hãy “khởi động động cơ”, “siết chặt dây an toàn” và sẵn sàng “nhấn ga” để bước vào một “hành trình” tri thức đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với sự “tăng tốc” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “về đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều “chiến thắng” trong “cuộc đua” này.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tốc độ” học tập, không ngừng “tăng tốc” và “bứt phá” trên “đường đua” Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
Câu 1. (4 điểm)
Với $m$ là tham số thực, xét các phương trình: $\left(\log _2 x\right)^2-\log _2 x-2023 m=0(1)$ và $3^y+3^{1-y}=m \quad(2)$.
a) Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương.
c) Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình (1) có hai nghiệm $x_1, x_2$ và phương trình (2) có hai nghiệm $y_1, y_2$; đồng thời, nếu xét các điểm $A\left(x_1 ; y_1\right)$ và $B\left(x_2 ; y_2\right)$ trong hệ trục tọa độ $O x y$ thì tam giác $O A B$ vuông tại $O$.
Câu 2. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng $\tan x+2 \sin x-3 x \geq 0$ với mọi $x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right)$.
b) Giải phương trình $\left(x^4+2 \sin ^2 x+4 \ln (\cos x)\right) \sqrt{\pi x-2 x^2}=0$.
Câu 3. (5 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có diện tích đáy là $2 a^2$ và chiều cao là $3 a \sqrt{2}$.
a) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime} B C$. Tính thể tích của khối chóp $G^{\prime} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
b) Biết $G A=a \sqrt{3}$ và $G B^2+G C^2=9 a^2$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A^{\prime} . A B C$.
