Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai
Vào một ngày đầu năm 2021, tỉnh Đồng Nai đã tổ chức một kỳ thi đặc biệt dành cho những học sinh và học viên xuất sắc môn Toán lớp 12. Sự kiện này nhằm tôn vinh và khuyến khích những tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học, đồng thời tạo ra một sân chơi công bằng để họ thể hiện năng lực của mình.
Đề thi gồm 6 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài kéo dài 180 phút, tạo ra một thử thách đáng gờm về sự kiên trì và tập trung. Tuy nhiên, để đảm bảo công bằng, các thí sinh được phép sử dụng máy tính cầm tay, nhưng không được phép sử dụng tài liệu tham khảo.
Kỳ thi này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các học sinh và học viên giỏi thể hiện khả năng sáng tạo, giải quyết vấn đề và làm chủ tình huống. Những ai vượt qua thử thách này sẽ được công nhận là những tài năng xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, mở ra nhiều cơ hội phát triển trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai
Câu 1. (5 điểm)
Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3 x^2-9 x$ có đồ thị là $(C)$.
1) Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị $(C)$.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=3$.
3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g(x)=|f(x)+m|$ có đúng 5 điểm cực trị.
Câu 2. (3 điểm)
1) Giải phương trình $\log _3\left(x^2-4 x+1\right)+\log _3\left(\frac{1}{1-x}\right)=1$ (với $x \in \mathbb{R}$ ).
2) Giải phương trình $4 \sin x+4 \sin x \cdot \cos 2 x+2 \sin 2 x-6 \cos x-3=0$.
Câu 3. (2 điểm)
Bạn An làm hai cái bánh là hai khối trụ bằng nhau có tổng thể tích bằng $144 \pi \mathrm{cm}^3$ và dùng giấy carton làm một cái hộp hình hộp chữ nhật (có đủ 6 mặt) để đựng vừa khít hai cái bánh như hình vẽ. Tính diện tích nhỏ nhất của giấy carton dùng trong việc nêu trên.
