Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
Vào một ngày đầu xuân ấm áp, khi những cánh hoa đào đang khoe sắc rực rỡ, thành phố Hồ Chí Minh đã chứng kiến một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục. Đó chính là kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp thành phố môn Toán (thường) năm học 2020 – 2021, được tổ chức bởi Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố.
Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thách thức các tài năng trẻ phải vận dụng tối đa kiến thức và tư duy logic của mình. Thời gian làm bài kéo dài trong 120 phút, không tính thời gian phát đề, đủ để các học sinh thể hiện hết năng lực của mình.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ, mà còn là cơ hội để các học sinh giỏi được phát hiện và đào tạo bài bản. Những tài năng xuất sắc sẽ được tôn vinh và nhận được sự hỗ trợ cần thiết để tiếp tục phát triển. Đây là nền tảng vững chắc cho tương lai của đất nước, khi những trí tuệ tài năng được khơi dậy và nuôi dưỡng.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
Bài 1. (4 điểm)
Giải phương trình: $\quad 4^x=x\left(2^x+1\right)+\sqrt{2^x-x}$.
Bài 2. (4 điểm)
Cho hàm số $y=x^2+x+2021,5$ có đồ thị $(P)$. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng mà từ $M$ có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến $(P)$.
Bài 3. (5 điểm)
Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn $(O)$. Trong hình nón, người ta đặt một hình chóp $D \cdot A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$ và $\widehat{B A C}=120^{\circ}$. Đỉh $D$ nằm trên mặt xung quanh của hình nón, các mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng nhau.
a) Chứng minh $D$ thuộc đường thẳng $S A$.
b) Tính thể tích khối nón khi thể tích khối chóp bằng 3.
Bài 4. (4 điểm)
Cho $X=\{n \in \mathbb{Z} \mid-5 \leq n \leq 5\}$ và $\Pi$ là tập hợp các hàm số $f(x)=a x^4+b x^2+c$ có $a, b, c \in X$ và $f(x)$ có 3 điểm cực trị. Chọn ngẫu nhiên $f(x)$ từ $\Pi$, tính xác suất để gốc tọa độ $O$ nằm hoàn toàn trong tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị của đồ thị $f(x)$.
