Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị
Vào một ngày thu đẹp trời, khi mùa hè vừa qua đi, mùa thu mới bắt đầu, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị đã tổ chức một sự kiện quan trọng – Kỳ thi chọn học sinh giỏi văn hóa lớp 12 THPT môn Toán năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong tỉnh được thể hiện năng lực và tài năng của mình trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi được thiết kế với 5 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Mỗi bài toán là một thách thức đòi hỏi sự tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề. Thời gian làm bài thi là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện hết khả năng của mình.
Không khí trong phòng thi tràn ngập sự tập trung và căng thẳng, nhưng cũng không kém phần hào hứng và nhiệt huyết. Các thí sinh đã chuẩn bị kỹ lưỡng và quyết tâm chinh phục những bài toán khó khăn. Mỗi nét bút, mỗi phép tính đều thể hiện sự cố gắng và tâm huyết của các học sinh trong việc chinh phục tri thức.
Kỳ thi chọn học sinh giỏi văn hóa lớp 12 THPT môn Toán năm học 2020 – 2021 không chỉ là một sân chơi để các tài năng trẻ thể hiện năng lực, mà còn là một cơ hội để họ được trui rèn và phát triển bản thân, chuẩn bị cho những thử thách lớn hơn trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị
Câu 1. (5,0 điểm)
Cho dãy số dương $\left(x_n\right)$ được xác định bởi $x_1=\frac{5}{2}$ và
$$
x_{n+1}^2=x_n^3-12 x_n+\frac{20 n+21}{n+1}, \forall n \geq 1 .
$$
Chứng minh dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (5,0 điểm)
Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a^3+b^4 \leq a^2+b^3$. Chứng minh rằng $a^3+b^3 \leq 2$.
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$ và điểm $M$ cố định nằm bên ngoài $(O)$. Đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $M$ cắt $(O)$ tại hai điểm phân biệt $P, Q$; các đường thẳng $A Q, A P$ cắt $B C$ lần lượt tại $R$ và $S$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $R P Q$.
1. Chứng minh bốn điểm $P, Q, R, S$ nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh khi $d$ thay đổi thì $I$ thuộc một đường thẳng cố định.
