Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nam Định
Trong một ngày tháng Tư năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định đã tổ chức một sự kiện quan trọng – Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 12 THPT trong năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được khẳng định và ghi nhận thành tích xuất sắc của mình.
Đề thi được chia thành hai phần, mỗi phần đòi hỏi các kỹ năng và kiến thức khác nhau. Phần I là bài tập trắc nghiệm một lựa chọn, yêu cầu thí sinh ghi đáp án vào ô tương ứng trên tờ giấy thi. Phần II là bài tập tự luận, thí sinh phải ghi câu trả lời vào giấy thi theo hàng dọc. Thời gian làm bài là 60 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy logic và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh giỏi Toán học thể hiện tài năng, mà còn là cơ hội để các em được khích lệ, trau dồi kiến thức và phát triển niềm đam mê với môn học này. Sự kiện này thể hiện nỗ lực của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định trong việc phát hiện và bồi dưỡng tài năng trẻ, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tại địa phương.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nam Định
Câu 1: Có bao nhiêu cặp điểm phân biệt nằm trên đồ thị hàm số $y=x^3+3 x^2-2021 x$ và đối xứng nhau qua gốc toạ độ $O$ ?
A. 1 .
B. 2 .
C. vô số.
D. 0 .
Câu 2: Trong không gian $O x y z$, cho các điểm $A(5 ; 3 ; 1) B(4 ;-1 ; 3), C(-6 ; 2 ; 4), D(2 ; 1 ; 7)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $|\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}|=|\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}|$ là mặt cầu $(S)$. Tính bán kính $R$ của $(S)$.
A. $\frac{\sqrt{21}}{4}$.
B. $\frac{\sqrt{21}}{2}$.
C. $\sqrt{21}$.
D. $\frac{\sqrt{21}}{8}$.
Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{2 x+1}{2-x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \backslash\{2\}$.
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$.
C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ; 2) \cup(2 ;+\infty)$.
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$.
Câu 4: Cho hai số thực $a, b>0 ; a \neq 1 ; b \neq 1$ thoà mãn $a^{\frac{3}{7}}<a^{\frac{1}{2}}$ và $\log _b \frac{3}{7}>\log _b \frac{1}{2}$. Chọn mệnh đề đúng.
A. $a>1 ; 0<b<1$.
B. $0<a<1 ; b>1$.
C. $a>1 ; b>1$.
D. $0<a<1 ; 0<b<1$.
Câu 5: Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng $2 a$. Tính diện tích xung quanh $S$ của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông $A B C D$ và $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$.
A. $S=4 \sqrt{2} \pi a^2$.
B. $S=\pi a^2$.
C. $S=\pi a^2 \sqrt{2}$.
D. $4 \pi a^2$.
Câu 6: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$.
A. $1+\frac{1}{(x-1)^2}+C$.
B. $x+\frac{1}{x-1}+C$.
C. $x^2+\ln |x-1|+C$.
D. $\frac{x^2}{2}+\ln |x-1|+C$.
Câu 7: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh bằng $4 a$, tam giác $B C D$ đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt đáy nằm trong hình thoi $A B C D$, các mặt bên của hình chóp cùng tạo với mặt phẳng đáy góc bằng $45^{\circ}$. Tính thể tích của khối nón tạo bởi hình nón có đỉnh $S$ và đáy là hình tròn nội tiếp hình thoi.
A. $\frac{\sqrt{3}}{64} \pi a^3$.
B. $3 \sqrt{3} \pi a^3$.
C. $\sqrt{3} \pi a^3$.
D. $\frac{\sqrt{3}}{8} \pi a^3$.
