Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
Trong nỗ lực thúc đẩy sự xuất sắc học thuật và khuyến khích tinh thần học tập, Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức Kỳ thi Học sinh giỏi môn Toán 12 năm 2019. Sự kiện này đánh dấu một cột mốc quan trọng trong việc tuyển chọn những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học từ các trường Trung học Phổ thông trên địa bàn thành phố.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận với 5 bài toán, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic một cách sâu sắc trong thời gian 120 phút. Mục đích chính của kỳ thi là hình thành đội tuyển học sinh giỏi Toán 12, đại diện cho Thành phố Hồ Chí Minh tại Kỳ thi Học sinh giỏi Toán THPT cấp Quốc gia năm 2019.
Những học sinh đạt thành tích xuất sắc trong kỳ thi này không chỉ được vinh danh mà còn trở thành tấm gương sáng cho phong trào học tập của toàn thành phố. Họ sẽ được tuyên dương và khen thưởng xứng đáng, truyền cảm hứng và khích lệ tinh thần học tập cho các bạn học sinh khác.
Với sự chuẩn bị chu đáo và chuyên nghiệp, kỳ thi hứa hẹn sẽ là sân chơi trí tuệ đẳng cấp, quy tụ những tài năng Toán học xuất sắc nhất của Thành phố Hồ Chí Minh. Đội ngũ hdgmvietnam.org sẽ giới thiệu đến bạn đọc nội dung chi tiết của đề thi, mở ra cơ hội để công chúng hiểu rõ hơn về trình độ và năng lực của các học sinh giỏi Toán tại đây.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
Bài 1. (4 điểm)
Giải phương trình: $\left.\log _5(x+2)+\log _3 x=\log _{2018} x+2015\right)+\log _{2019}(x+2016)$.
Bài 2. (4 điểm)
Cho hàm số $f(x)=x^3-3 x$ và hai số thực $a, b$ thỏa mãn các điều kiện: $a>2018^{\log _{0010} b} \geq 1 ; \quad f\left(\log _{2018} a\right)+2=f\left(\log _{2019} b\right)$. Tính $\log _{2019}(a+b)$.
Bài 3. (4 điểm)
Cho hàm số $y=\left(x^2-1\right)^2$ có đồ thị $(C)$. Xét điểm $M$ di chuyển trên $(C)$ và có hoành độ $m \in(-1 ; 1)$. Tiếp tuyến của $(C)$ ở $M$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt và khác $M$. Tìm giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $A B$.
Bài 4. (5 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân ở $A$ với $B C=2 a$ và hình chiếu của $A^{\prime}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm $B C$. Biết rằng diện tích của tứ giác $B C C^{\prime} B^{\prime}$ bằng $6 a^2$.
a) Tính theo $a$ thể tích của hình lăng trụ đã cho.
b) Tính theo $a$ thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng $(A B C),\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ và chứa toàn bộ lăng trụ đã cho bên trong.
