Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
Trong bối cảnh nâng cao chất lượng giáo dục và phát triển tài năng trẻ, vào một ngày đặc biệt trong tháng 10 năm 2019, trường Trung Học Phổ Thông Yên Lạc 2, tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi khối 12 môn Toán cho năm học 2019 – 2020.
Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học được thể hiện năng lực và kiến thức của mình. Đề thi được thiết kế với 10 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sâu sắc. Thời gian làm bài kéo dài trong 180 phút, tạo ra một thử thách đáng gờm về sự kiên trì và nỗ lực của các học sinh.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn thể hiện tầm nhìn của nhà trường trong việc khuyến khích và phát triển tài năng trẻ. Bằng cách tạo ra một sân chơi công bằng và thách thức, trường THPT Yên Lạc 2 đang góp phần định hình tương lai của các học sinh giỏi, chuẩn bị cho họ những bước tiến xa hơn trong lĩnh vực Toán học và các lĩnh vực khác.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
Câu 1. Giải phương trình $\cos x=\cos ^2 \frac{3 x}{4}$.
Câu 2. Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{m x-1}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 2)$.
Câu 3. Tìm $\mathrm{m}$ để hàm số $y=x^3-2(2 m+1) x^2+\left(5 m^2+10 m-3\right) x-10 m^2-4 m+6$ có hai điểm điểm cực trị $A, B$ nằm về hai phía so với trục hoành.
Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt đồng thời ba chữ số $0,1,2$.
Câu 5. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $\left\{\begin{array}{l}u_1=1 \\ u_{n+1}=\frac{n\left(u_n+2\right)+n^2+1}{n+1}, n \in N^*\end{array}\right.$. Tìm $\lim u_n$
Câu 6. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2(x-2) \sqrt{x+6}=6-y \\ (x-2) \sqrt{y+2}=\sqrt{y+1} \sqrt{x^2-4 x+5}\end{array}\right.$
Câu 7. Cho hình chóp $S . A B C$, có $A S B=C S B=60^{\circ} ; C S A=90^{\circ}, S A=2 S B=3 S C=6$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$.
Câu 8. Cho hình chóp $S . A B C$, có đáy $A B C D$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $S A B$ vuông tại $B$, tam giác $S A C$ vuông tại $C$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ và khoảng cách từ $C$ đến $(S A B)$ theo $a$.
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $(O x y)$, cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $(I)$. Điểm $M$ nằm trên cung $B C$ không chứa $A$ và không trùng với $B, C$. Gọi $H(1 ; 4)$ và $K\left(\frac{2}{5} ; \frac{11}{5}\right)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $A B, A C$. Phương trình của đường thẳng $(B C): x+y-1=0$ và khoảng cách từ $M$ đến $B C$ bằng $2 \sqrt{2}$. Tìm tọa độ đỉnh $A$ biết rằng $M$ có hoành độ dương.
