Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Đồng Đậu – Vĩnh Phúc
Trong bối cảnh nâng cao chất lượng giáo dục và khuyến khích tài năng trẻ, vào ngày …/ 10/ 2019, Trường Trung Học Phổ Thông Đồng Đậu, tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức một sự kiện học thuật quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm mục đích tuyển chọn những học sinh lớp 12 xuất sắc trong môn Toán, từ đó thành lập đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 cấp trường, đại diện cho nhà trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh.
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 tại trường Đồng Đậu, tỉnh Vĩnh Phúc bao gồm 07 bài toán tự luận, yêu cầu sự hiểu biết sâu rộng và khả năng tư duy logic cao. Đề thi được trình bày trên 01 trang, với thời gian làm bài 180 phút, đảm bảo tính khách quan và công bằng cho tất cả thí sinh. Đáng chú ý, đề thi được cung cấp lời giải chi tiết và thang chấm điểm rõ ràng, giúp các giáo viên chấm thi dễ dàng đánh giá và xếp loại thí sinh.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Đồng Đậu – Vĩnh Phúc
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để hàm số $y=\frac{1}{3} m x^3-(m-1) x^2+3(m-2) x+2019$ đồng biến trên $[2 ;+\infty)$.
b) Cho hàm số $y=\frac{m x-m+2}{x+1}$ có đồ thị là $(\mathrm{C})$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để đường thẳng $d: y=2 x-1$ cắt $(\mathrm{C})$ tại hai điểm phân biệt $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$ bằng $45^{\circ}$.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác sau $\frac{\cos x(2 \sin x+1)}{(\sin x+1)(2 \sin x-1)}=\sqrt{3}$.
b) Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{array}{l}x^2-4 y+3 \sqrt{x^2 y+3 y}+3=0 \\ \sqrt{x^2+3 x-y+5}+\sqrt[3]{3 x-2}=2\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có $A B=a, A C=2 \mathrm{a}, A A^{\prime}=\frac{3 a \sqrt{6}}{2}$ và góc $\widehat{B A C}=60^{\circ}$. Gọi $\mathrm{M}$ là điểm trên cạnh $C C^{\prime}$ sao cho $\overrightarrow{C M}=2 \overrightarrow{M C^{\prime}}$.
a) Chứng minh rằng $A M \perp B^{\prime} M$.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh $A^{\prime}$ đến mặt phẳng $\left(A B^{\prime} M\right)$.
Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=1-\frac{1}{(n+1)^2},\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$.
Tính $\lim \left(u_1 u_2 u_3 \ldots u_n\right)$.
Câu 5 ( 1,0 điểm) Cho đa giác lồi $(H)$ có $\mathrm{n}$ đỉnh $(n \in \mathbb{N}, n>4)$. Biết số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$. Xác định $\mathrm{n}$.
