Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên
Vào ngày 06/10/2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 THPT năm học 2020-2021. Đây là một sự kiện quan trọng, nhằm tôn vinh và khuyến khích các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học.
Đề thi gồm 6 bài toán tự luận, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các em thể hiện hết năng lực của mình. Đội ngũ hdgmvietnam.org đã giới thiệu đề thi cùng đáp án và lời giải chi tiết, giúp các thầy cô giáo và học sinh có thể tham khảo và học hỏi.
Kỳ thi này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là cơ hội để các em học sinh thể hiện khả năng sáng tạo, tư duy phân tích và giải quyết vấn đề. Những kỹ năng này vô cùng quan trọng trong thời đại công nghệ hiện nay, và sẽ giúp các em gặt hái được nhiều thành công trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên
Câu 1: (3,0 điểm)
Giải phương trình $x+4 \sqrt{x+3}+2 \sqrt{3-2 x}=11$.
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x y z+z=a \\ x y z^2+z=b \\ x^2+y^2+z^2=4\end{array} \quad(a, b \in \mathbb{R})\right.$. Tìm tất cả các giá trị của $a, b$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Cho tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c(a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thuộc $[0 ; 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{(a-b)(2 a-b)}{a(a-b+c)}$.
b) Cho $a, b, c$ là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9 \sqrt[3]{a b c}}{a+b+c} \geq 6$.
Câu 4: (5,0 điểm)
a) Cho điểm $M$ tùy ý nằm bên trong tam giác $A B C$. Gọi $S_1, S_2, S_3$ lần lượt là diện tích của các tam giác $M B C, M A C, M A B$. Chứng minh rằng $S_1 \cdot \overrightarrow{M A}+S_2 \cdot \overrightarrow{M B}+S_3 \cdot \overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$.
b) Trong mặt phẳng $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2+p x+q$ với $(q \neq 0)$. Biết rằng $(P)$ cắt trục $O x$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và cắt trục $O y$ tại $C$. Chứng minh rằng khi $p$ và $q$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi : $u_1=2 ; u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2 u_n-1}$, với $n=1.2 .3 \ldots$.
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ giảm và bị chặn.
b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$.
Câu 6: (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f\left(\frac{x+y}{2020}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2019}, \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$.
