Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Với mong muốn cung cấp nguồn tài liệu học tập chất lượng cao, website hdgmvietnam.org xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2020 – 2021 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn. Bộ đề này gồm 5 bài toán tự luận, được thiết kế để kiểm tra kiến thức và tư duy toán học của học sinh ở cấp độ cao.
Với thời gian làm bài 90 phút, đề thi này đòi hỏi học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và khả năng tư duy logic, phân tích vấn đề một cách sâu sắc. Ngoài ra, bộ đề cũng đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thể tự đối chiếu, rút ra những kiến thức bổ ích và cải thiện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Với sự chia sẻ này, hdgmvietnam.org hy vọng sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giáo dục, cũng như tạo điều kiện thuận lợi cho các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng sắp tới.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Câu 1. (4 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-x^3+3 x^2+3\left(m^2-1\right) x-3 m^2-1$ có hai điểm cực trị trái dấu.
b) Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a x^3+b x^2+\frac{1}{3} x+c$ và đường thẳng $y=g(x)$ có đồ thị như trong hình vẽ bên và $A B=5$. Giải phương trình $f(x)=g(x)+x^2+2$.
Câu 2 .(6 điểm)
Giải hệ phương trình trong tập số thực $\left\{\begin{array}{l}x^3-6 x^2+13 x=y^3+y+10 \\ \sqrt{2 x+y+2}-\sqrt{5-x-y}=3-y\end{array}\right.$.
a) Giải phương trình $\left(1+\sin ^2 x\right) \cos x+\left(1+\cos ^2 x\right) \sin x=1+\sin 2 x$.
b) Giải phương trình $\left(1+\sin ^2 x\right) \cos x+\left(1+\cos ^2 x\right) \sin x=1+\sin 2 x$.
Câu 3. (2 điểm) Gọi $S$ là tập hợp các số có 5 chữ số đôi một khác nhau $\overline{a b c d e}$ với $a, b, c, d, e \in\{1,2,3, \ldots, 9\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chẵn và thỏa mãn $a<b<c<d<e$.
Câu 4. (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên thêm 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để số tiền thu được của khách sạn trong 1 ngày là lớn nhất.
