Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kon Tum
Chào mừng các bạn học sinh lớp 12 đến với đề thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh năm học 2020 – 2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kon Tum soạn thảo. Đây là một cơ hội tuyệt vời để các bạn thử sức với những câu hỏi thách thức và khó khăn, giúp rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp.
Đề thi gồm 5 bài toán tự luận, yêu cầu các bạn vận dụng kiến thức sâu rộng và tư duy logic để tìm ra lời giải. Thời gian làm bài là 90 phút, đủ để các bạn thể hiện khả năng tư duy nhanh nhạy và sự kiên trì. Đáp án và lời giải chi tiết cũng được cung cấp, giúp các bạn tự đánh giá và rút ra bài học quý báu.
Hãy chuẩn bị tinh thần và sẵn sàng chinh phục những thử thách mới. Đây không chỉ là một cuộc thi mà còn là cơ hội để các bạn khám phá tiềm năng của bản thân, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị cho những bước tiến mới trong tương lai. Chúc các bạn may mắn và đạt được kết quả tốt nhất!
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kon Tum
Câu 1. (2,5 điểm) Cho hàm số $f(x)=-x^4+2 m x^2-m^2-1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $f(x)$ có ba điểm cực trị và ba điểm đó cùng gốc tọa độ $O$ lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình $\frac{|\sin 3 x|+\sqrt{3} \cos 3 x-1}{\cos x}=0$ với $x \in(-\pi ; 0)$.
2. Giải phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3 \sqrt{(x-y)(y+1)}=4+5 y \\ \sqrt{2 x+2 y-4}+4=3 x-2 y-\sqrt{2 y-1}\end{array}\right.$
Câu 3. (5,0 điểm)
1. Một nhóm gồm 9 học sinh một lớp trong đó có ba bạn Việt, Nam và Hùng đi dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức sắp xếp ngẫu nhiên 9 học sinh này ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến 9 . Tính xác suất để số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam.
2. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa $\left\{\begin{array}{l}u_1=2020 \\ \left(n^2+5 n+5\right) u_n=\left(2 n^2+6 n+2\right) u_{n+1}, \quad n=1,2,3 \ldots\end{array}\right.$.
Tính $\lim \left(\frac{2^n u_n}{n^2}\right)$.
Câu 4. (6,0 điểm) Cho tứ diện $A B C D$ có $B C=A D=a, A C=B D=b, A B=C D=c$.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $C D$ theo $a, b, c$.
2. Biết mặt phẳng $(A B C)$ vuông góc với mặt phẳng $(A B D)$. Chứng minh rằng $\cos A \cdot \cos B=\cos C$; với $A, B, C$ là ký hiệu ba góc tương ứng với các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $A B C$.
3. Gọi $S$ là diện tích toàn phần của tứ diện $A B C D$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{S^2}{a^2 b^2}+\frac{S^2}{b^2 c^2}+\frac{S^2}{c^2 a^2}$.
