Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang
Trong nỗ lực thúc đẩy sự phát triển của các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang đã tổ chức Kỳ thi chọn Học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán 12 năm học 2018 – 2019 vào ngày 16 tháng 03 năm 2019. Sự kiện này không chỉ nhằm tôn vinh những học sinh xuất sắc mà còn là một nền tảng để khuyến khích và truyền cảm hứng cho các em học sinh khác noi theo.
Đề thi Học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang được biên soạn theo hình thức kết hợp giữa trắc nghiệm khách quan và tự luận. Phần thi trắc nghiệm bao gồm 40 câu hỏi, chiếm 14 điểm, trong khi phần thi tự luận gồm 03 câu hỏi, chiếm 06 điểm. Thời gian làm bài cho cả hai phần là 120 phút. Cấu trúc này nhằm đánh giá toàn diện năng lực của học sinh, bao gồm cả kiến thức lý thuyết và khả năng tư duy logic, giải quyết vấn đề.
Mục đích chính của kỳ thi này là tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học ở khối lớp 12 tỉnh Bắc Giang. Những học sinh đạt thành tích cao sẽ được tuyên dương, khen thưởng và trở thành tấm gương sáng cho các bạn học sinh khác noi theo. Đồng thời, kỳ thi cũng là cơ hội để các tài năng trẻ khẳng định năng lực của mình trên một sân chơi lớn, qua đó được đào tạo và phát triển hơn nữa trong tương lai.
Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang
Câu 1: Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=8$ và $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+2 a x+1}-\sqrt{b x+1}}{x}=5$. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ?
A. $a \in(2 ; 4)$.
B. $a \in(3 ; 8)$.
C. $b \in(3 ; 5)$.
D. $b \in(4 ; 9)$.
Câu 2: Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu (S): $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=1$, đường thẳng $\Delta: \frac{x-6}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}$ và điểm $M(4 ; 3 ; 1)$. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào đi qua $M$, song song với $\Delta$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?
A. $2 x-2 y+5 z-22=0$.
B. $2 x+y+2 z-13=0$.
C. $2 x+y-2 z-1=0$.
D. $2 x-y+2 z-7=0$.
A. $u_{2019}=6095381$.
B. $u_{2019}=810600$.
C. $u_{2009}=6107482$.
D. $u_{2019}=6207426$.
Câu 4: Cho tứ diện $A B C D$ có $A B$ vuông góc với $C D$ và $A B=a, C D=b$. Gọi $1, J$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$, điểm $M$ thuộc đoạn $I J$ sao cho $I M=\frac{1}{3} I J$. Gọi ( $\alpha$ ) là mặt phẳng qua $M$ và song song với $A B$ và $C D$. Diện tích thiết diện của tứ diện $A B C D$ cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là
A. $\frac{2 a b}{9}$.
B. $\frac{4 a b}{9}$.
C. $\frac{2 a b}{3}$.
D. $\frac{3 a b}{2}$.
Câu 5: Trong không gian $O x y z$, cho ba điểm $A(3 ; 1 ; 0), B(0 ;-1 ; 0), C(0 ; 0 ;-6)$. Nếu tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có các đỉnh thỏa mãn hệ thức $\overline{A^{\prime} A}+\overline{B^{\prime} B}+\overrightarrow{C^{\prime} C}=\overrightarrow{0}$ thì tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có tọa độ trọng tâm là
A. $(3 ;-2 ; 0)$.
B. $(2 ;-3 ; 0)$.
C. $(1 ; 0 ;-2)$.
D. $(3 ;-2 ; 1)$.
